20- A equação da trajetória de um objeto é:
(unidades SI e ângulos em radianos). (a) Demonstre que o movimento do objeto é circular uniforme. (b) Calcule a velocidade angular do objeto e o seu período. R: (a) A aceleração tangencial é constante,
, e a velocidade e a aceleração normal são constantes, v
; num movimento num plano, isso implica movimento circular uniforme. (b)
s.
Passo 1
Enunciado e o que se pede. A posição do objeto é dada por
com ângulos em radianos e unidades SI. As perguntas são:
- Demonstrar que o movimento é movimento circular uniforme.
- Calcular a velocidade angular
e o período .
Informações relevantes dadas:
Nada mais foi fornecido; a partir daqui vamos simplificar a expressão e calcular velocidades e acelerações.
Passo 2
Simplificar a componente
usando identidade trigonométrica. Lembre que a identidade de duplicação é
Aplicando com
obtemos
Logo
A componente
já é
Portanto podemos escrever
Passo 3
Mostrar que a trajetória é uma circunferência. Considere o vetor posição deslocado pelo centro
:
Então
Como
, segue
Isto é a equação de uma circunferência de centro
e raio
. Concluímos que a trajetória é circular (o objeto descreve uma circunferência de raio
).
Passo 4
Calcular a velocidade
. Use derivadas e regra da cadeia. Das formas simplificadas:
Portanto
Passo 5
Calcular a velocidade escalar (módulo de
) e verificar se é constante. O módulo é
Como o resultado é constante (independe de
), a velocidade escalar é
. Movimento com velocidade escalar constante numa trajetória circular é já um forte indício de movimento circular uniforme.
Passo 6
Calcular a aceleração
e decompor em tangencial e normal. Derivando
:
Então
Calcule o produto escalar
para ver a componente tangencial:
Como
, a componente tangencial da aceleração é nula:
O módulo da aceleração é
Portanto a aceleração normal (centrípeta) tem magnitude constante
e aponta para o centro da circunferência (veja que
, que é dirigido para
quando se expressa em termos de
).
Passo 7
Interpretar os resultados e concluir que o movimento é circular uniforme. Relembrando conceitos:
- Em movimento circular uniforme (MCU) a trajetória é circular, a velocidade escalar
é constante e a aceleração é puramente centrípeta (normal) com e .
Aqui encontramos trajetória circular de raio, velocidade escalar constante e aceleração normal constante . Verificamos também que
coincidindo com o valor calculado para
. Assim todos os requisitos do MCU são satisfeitos: o movimento é circular uniforme.
Passo 8
Calcular a velocidade angular
e o período
. Em MCU a relação entre velocidade linear
, velocidade angular
e raio
é
Isolando
,
O período
é o tempo para uma volta completa e é dado por
Resposta
(a)
— portanto o movimento é movimento circular uniforme.
(b) .
(b)