20- A equação da trajetória de um objeto é: \vec{r}=8 \cos ^{2}(2 t) \vec{e}_{x}+4 \operatorname{sen}(4 t) \vec{e}_{y} (unidades SI e ângulos em radianos). (a) Demonstre que o movimento do objeto é circular uniforme. (b) Calcule a velocidade angular do objeto e o seu período. R: (a) A aceleração tangencial é constante, a_{t}=0, e a velocidade e a aceleração normal são constantes, v =16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a_{n}=64 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}; num movimento num plano, isso implica movimento circular uniforme. (b) \omega=4 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, T=\pi / 2 s.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. A posição do objeto é dada por
\vec{r}(t)=8\cos^{2}(2t)\,\vec{e}_{x}+4\operatorname{sen}(4t)\,\vec{e}_{y},
com ângulos em radianos e unidades SI. As perguntas são:
  1. Demonstrar que o movimento é movimento circular uniforme.
  2. Calcular a velocidade angular \omega e o período T.
Informações relevantes dadas:
\vec{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(8\cos^{2}(2t),\;4\operatorname{sen}(4t)\bigr).
Nada mais foi fornecido; a partir daqui vamos simplificar a expressão e calcular velocidades e acelerações.

Passo 2

Simplificar a componente x(t) usando identidade trigonométrica. Lembre que a identidade de duplicação é
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=2t obtemos
\cos^{2}(2t)=\frac{1+\cos(4t)}{2}.
Logo
x(t)=8\cos^{2}(2t)=8\cdot\frac{1+\cos(4t)}{2}=4+4\cos(4t).
A componente y(t) já é
y(t)=4\operatorname{sen}(4t).
Portanto podemos escrever
\vec{r}(t)=\bigl(4+4\cos(4t),\;4\operatorname{sen}(4t)\bigr).

Passo 3

Mostrar que a trajetória é uma circunferência. Considere o vetor posição deslocado pelo centro (4,0):
x(t)-4=4\cos(4t),\qquad y(t)=4\operatorname{sen}(4t).
Então
\bigl(x(t)-4\bigr)^{2}+y(t)^{2}=(4\cos(4t))^{2}+(4\operatorname{sen}(4t))^{2}=16\bigl(\cos^{2}(4t)+\operatorname{sen}^{2}(4t)\bigr)=16.
Como \cos^{2}+\operatorname{sen}^{2}=1, segue
\bigl(x(t)-4\bigr)^{2}+y(t)^{2}=16.
Isto é a equação de uma circunferência de centro (4,0) e raio R=4. Concluímos que a trajetória é circular (o objeto descreve uma circunferência de raio 4).

Passo 4

Calcular a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Use derivadas e regra da cadeia. Das formas simplificadas:
x(t)=4+4\cos(4t)\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=-4\cdot 4\operatorname{sen}(4t)=-16\operatorname{sen}(4t).
y(t)=4\operatorname{sen}(4t)\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=4\cdot 4\cos(4t)=16\cos(4t).
Portanto
\vec{v}(t)=\bigl(-16\operatorname{sen}(4t),\;16\cos(4t)\bigr).

Passo 5

Calcular a velocidade escalar (módulo de \vec{v}) e verificar se é constante. O módulo é
v(t)=\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{(-16\operatorname{sen}(4t))^{2}+(16\cos(4t))^{2}}=16\sqrt{\operatorname{sen}^{2}(4t)+\cos^{2}(4t)}=16.
Como o resultado é constante (independe de t), a velocidade escalar é v=16\\ \mathrm{m/s}. Movimento com velocidade escalar constante numa trajetória circular é já um forte indício de movimento circular uniforme.

Passo 6

Calcular a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt} e decompor em tangencial e normal. Derivando \vec{v}:
\frac{d}{dt}\bigl(-16\operatorname{sen}(4t)\bigr)=-16\cdot 4\cos(4t)=-64\cos(4t),
\frac{d}{dt}\bigl(16\cos(4t)\bigr)=16\cdot(-4)\operatorname{sen}(4t)=-64\operatorname{sen}(4t).
Então
\vec{a}(t)=\bigl(-64\cos(4t),\;-64\operatorname{sen}(4t)\bigr).
Calcule o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{a} para ver a componente tangencial:
\vec{v}\cdot\vec{a}=(-16\operatorname{sen}(4t))(-64\cos(4t))+(16\cos(4t))(-64\operatorname{sen}(4t))=1024\operatorname{sen}(4t)\cos(4t)-1024\cos(4t)\operatorname{sen}(4t)=0.
Como \vec{v}\cdot\vec{a}=0, a componente tangencial da aceleração é nula:
a_{t}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{\|\vec{v}\|}=0.
O módulo da aceleração é
\|\vec{a}(t)\|=\sqrt{(-64\cos(4t))^{2}+(-64\operatorname{sen}(4t))^{2}}=64\sqrt{\cos^{2}(4t)+\operatorname{sen}^{2}(4t)}=64.
Portanto a aceleração normal (centrípeta) tem magnitude constante a_{n}=64\\ \mathrm{m/s^{2}} e aponta para o centro da circunferência (veja que \vec{a}(t)=-64(\cos(4t),\operatorname{sen}(4t)), que é dirigido para (4,0) quando se expressa em termos de x-4,y).

Passo 7

Interpretar os resultados e concluir que o movimento é circular uniforme. Relembrando conceitos:
  • Em movimento circular uniforme (MCU) a trajetória é circular, a velocidade escalar v é constante e a aceleração é puramente centrípeta (normal) com a_{t}=0 e a_{n}=\dfrac{v^{2}}{R}.
    Aqui encontramos trajetória circular de raio R=4, velocidade escalar constante v=16 e aceleração normal constante a_{n}=64. Verificamos também que
\frac{v^{2}}{R}=\frac{16^{2}}{4}=\frac{256}{4}=64,
coincidindo com o valor calculado para \|\vec{a}\|. Assim todos os requisitos do MCU são satisfeitos: o movimento é circular uniforme.

Passo 8

Calcular a velocidade angular \omega e o período T. Em MCU a relação entre velocidade linear v, velocidade angular \omega e raio R é
v=\omega R.
Isolando \omega,
\omega=\frac{v}{R}=\frac{16}{4}=4\\ \mathrm{rad/s}.
O período T é o tempo para uma volta completa e é dado por
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) a_{t}=0,\;v=16\\ \mathrm{m/s},\;a_{n}=64\\ \mathrm{m/s^{2}} — portanto o movimento é movimento circular uniforme.
(b) \omega=4\\ \mathrm{rad/s},\;T=\pi/2\\ \mathrm{s}.

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