21- Um ponto material movimenta-se numa trajectória circular de raio 2 m com aceleração
(SI). Sabendo que em t
o referido ponto material se encontrava em repouso e na posição angular
, determine a velocidade angular e a posição angular do ponto material em função do tempo, bem como as componentes tangencial e normal da aceleração no instante
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
-
Dados do problema:
- Raio da trajetória:
. - Aceleração angular (fornecida):
(SI). - Condições iniciais: em
o ponto estava em repouso, portanto ; e a posição angular inicial é .
- Raio da trajetória:
-
O que pedir:
- Determinar a velocidade angular
. - Determinar a posição angular
. - Calcular as componentes tangencial
e normal da aceleração no instante .
- Determinar a velocidade angular
Passo 2
Relação entre as grandezas e como começar a resolver (explicação didática):
- A aceleração angular
é a taxa de variação temporal da velocidade angular . Matematicamente:
Isto significa que para obter
devemos integrar
em relação a
. Ao integrar aparece uma constante de integração que determinamos usando a condição inicial
.
Agora integramos termo a termo:
Integração termo a termo:
-
. -
. -
.
Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Determinação da constante usando a condição inicial:
- Como o ponto está em repouso em
, temos .
Substituindona expressão:
Portanto
e
Passo 4
Obter a posição angular
a partir de
(explicação didática):
- A velocidade angular
é a taxa de variação da posição angular :
Logo
é a integral de
. Integramos termo a termo:
Integração:
-
. -
. -
.
Somando e incluindo a constante de integração:
Usando
obtemos
. Assim
Passo 5
Componente tangencial da aceleração no instante
(explicação didática):
- Em movimento circular, a componente tangencial da aceleração relaciona-se com a aceleração angular por
porque a aceleração tangencial é a variação da velocidade linear tangencial
e
.
- Calculamos primeiro
:
- Então
Passo 6
Componente normal (centrípeta) da aceleração no instante
(explicação didática):
- A componente normal (centrípeta) é dada por
onde
é a velocidade angular. Isso vem da expressão
com
, então
.
- Calculamos
usando a expressão encontrada:
- Assim