21- Um ponto material movimenta-se numa trajectória circular de raio 2 m com aceleração \alpha(t)= 120 t^{2}-48 t+16 (SI). Sabendo que em t =0 o referido ponto material se encontrava em repouso e na posição angular \varphi_{0}=0, determine a velocidade angular e a posição angular do ponto material em função do tempo, bem como as componentes tangencial e normal da aceleração no instante \mathrm{t}= 1 \mathrm{~s} . R: \omega(t)=40 t^{3}-24 t^{2}+16 t \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; \varphi(t)=10 t^{4}-8 t^{3}+8 t^{2} \mathrm{rad} ; a_{t}=176 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; a_{n}= 2048 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Dados do problema:
    • Raio da trajetória: r=2\\ \mathrm{m}.
    • Aceleração angular (fornecida): \alpha(t)=120\,t^{2}-48\,t+16 (SI).
    • Condições iniciais: em t=0 o ponto estava em repouso, portanto \omega(0)=0; e a posição angular inicial é \varphi(0)=0.
  • O que pedir:
    1. Determinar a velocidade angular \omega(t).
    2. Determinar a posição angular \varphi(t).
    3. Calcular as componentes tangencial a_{t} e normal a_{n} da aceleração no instante t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Relação entre as grandezas e como começar a resolver (explicação didática):
  • A aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação temporal da velocidade angular \omega(t). Matematicamente:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
Isto significa que para obter \omega(t) devemos integrar \alpha(t) em relação a t. Ao integrar aparece uma constante de integração que determinamos usando a condição inicial \omega(0)=0.
Agora integramos termo a termo:
\omega(t)=\int \alpha(t)\,dt=\int \bigl(120\,t^{2}-48\,t+16\bigr)\,dt.
Integração termo a termo:
  • \int 120\,t^{2}\,dt = 120\cdot\frac{t^{3}}{3}=40\,t^{3}.
  • \int -48\,t\,dt = -48\cdot\frac{t^{2}}{2}=-24\,t^{2}.
  • \int 16\,dt = 16\,t.
    Assim
\omega(t)=40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Determinação da constante usando a condição inicial:
  • Como o ponto está em repouso em t=0, temos \omega(0)=0.
    Substituindo t=0 na expressão:
\omega(0)=40\cdot 0^{3}-24\cdot 0^{2}+16\cdot 0 + C = C.
Portanto C=0 e
\omega(t)=40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t\quad\text{(rad/s)}.

Passo 4

Obter a posição angular \varphi(t) a partir de \omega(t) (explicação didática):
  • A velocidade angular \omega(t) é a taxa de variação da posição angular \varphi(t):
\omega(t)=\frac{d\varphi}{dt}.
Logo \varphi(t) é a integral de \omega(t). Integramos termo a termo:
\varphi(t)=\int \omega(t)\,dt=\int \bigl(40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t\bigr)\,dt.
Integração:
  • \int 40\,t^{3}\,dt = 40\cdot\frac{t^{4}}{4}=10\,t^{4}.
  • \int -24\,t^{2}\,dt = -24\cdot\frac{t^{3}}{3}=-8\,t^{3}.
  • \int 16\,t\,dt = 16\cdot\frac{t^{2}}{2}=8\,t^{2}.
    Somando e incluindo a constante de integração C':
\varphi(t)=10\,t^{4}-8\,t^{3}+8\,t^{2}+C'.
Usando \varphi(0)=0 obtemos C'=0. Assim
\varphi(t)=10\,t^{4}-8\,t^{3}+8\,t^{2}\quad\text{(rad)}.

Passo 5

Componente tangencial da aceleração no instante t=1\\ \mathrm{s} (explicação didática):
  • Em movimento circular, a componente tangencial da aceleração relaciona-se com a aceleração angular por
a_{t}=r\,\alpha(t),
porque a aceleração tangencial é a variação da velocidade linear tangencial v=r\omega e a_{t}=dv/dt=r\,d\omega/dt=r\,\alpha.
  • Calculamos primeiro \alpha(1):
\alpha(1)=120\cdot 1^{2}-48\cdot 1 +16 = 120-48+16 = 88\\ \text{(rad/s}^{2}\text{)}.
  • Então
a_{t}=r\,\alpha(1)=2\cdot 88 = 176\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 6

Componente normal (centrípeta) da aceleração no instante t=1\\ \mathrm{s} (explicação didática):
  • A componente normal (centrípeta) é dada por
a_{n}=r\,\omega^{2}(t),
onde \omega(t) é a velocidade angular. Isso vem da expressão a_{n}=v^{2}/r com v=r\omega, então a_{n}=(r\omega)^{2}/r=r\omega^{2}.
  • Calculamos \omega(1) usando a expressão encontrada:
\omega(1)=40\cdot 1^{3}-24\cdot 1^{2}+16\cdot 1 = 40-24+16 = 32\\ \text{(rad/s)}.
  • Assim
a_{n}=r\,\omega^{2}(1)=2\cdot 32^{2}=2\cdot 1024=2048\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Resposta

\omega(t)=40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}
\varphi(t)=10\,t^{4}-8\,t^{3}+8\,t^{2}\\ \mathrm{rad}
a_{t}(1)=176\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}
a_{n}(1)=2048\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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