19- Um corpo encontra-se inicialmente na posição
(unidades SI) com velocidade
. Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão
. Encontre as expressões para a velocidade e a posição em função do tempo.
1)
.
Passo 1
O problema pede que eu encontre as expressões da velocidade e da posição em função do tempo, dadas condições iniciais e a aceleração. Dados fornecidos:
(posição inicial),
(velocidade inicial),
(aceleração para todo
).
As incógnitas são e
.
As incógnitas são
Passo 2
Relação fundamental que usarei: aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição. Em fórmulas:
Para obter
integra-se
no tempo e ajusta-se a constante pela condição inicial
. Para obter
integra-se
e usa-se
.
Pequena revisão de cálculo que vamos usar: a integral de uma potência é
ex.:
. Vou aplicar isso componente a componente (ou seja, integrar separadamente as componentes
).
Passo 3
Integro a componente
de
. Como
,
Essa é a contribuição à velocidade na direção
. A constante de integração é a velocidade inicial na direção
; como
não tem componente em
, temos
. Logo
Passo 4
Componente
: em
a componente
é zero (não há termo
), então a velocidade em
é constante. Pela condição inicial
, temos
Passo 5
Componente
: a componente é
. Integro:
A constante de integração é
. Portanto
Passo 6
Juntando as componentes, a velocidade como vetor é
Verificação rápida: em
retorna
, que é
. Perfeito.
Passo 7
Agora obtenho
integrando
. Faço componente a componente usando
(ou equivalente indefinida com constantes ajustadas pelas condições iniciais).
Passo 8
Componente
de
é
. Integro:
A constante é
. Logo
Passo 9
Componente
:
. Integro:
A constante é
. Portanto
Passo 10
Componente
:
. Integro termo a termo:
e
Somando e adicionando a constante
, fica
Passo 11
Juntando componentes, a posição como vetor é