19- Um corpo encontra-se inicialmente na posição \vec{r}_{0}=3 \vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z} (unidades SI) com velocidade \vec{v}_{0}=5 \vec{e}_{y}+4 \vec{e}_{z}. Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão \vec{a}=2 t^{2} \vec{e}_{x}+3 t \vec{e}_{z}. Encontre as expressões para a velocidade e a posição em função do tempo. R: \vec{v}=\frac{2}{3} t^{3} \vec{e}_{x}+5 \vec{e}_{y}+\left(\frac{3}{2} t^{2}+4\right) \vec{e}_{z} ; \vec{r}=\left(\frac{1}{6} t^{4}+3\right) \vec{e}_{x}+(5 t+1) \vec{e}_{y}+\left(\frac{1}{2} t^{3}+4 t-\right. 1) \vec{e}_{z}.

Passo 1

O problema pede que eu encontre as expressões da velocidade e da posição em função do tempo, dadas condições iniciais e a aceleração. Dados fornecidos:
\vec{r}_{0}=3\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z} (posição inicial),
\vec{v}_{0}=5\vec{e}_{y}+4\vec{e}_{z} (velocidade inicial),
\vec{a}(t)=2t^{2}\vec{e}_{x}+3t\vec{e}_{z} (aceleração para todo t).
As incógnitas são \vec{v}(t) e \vec{r}(t).

Passo 2

Relação fundamental que usarei: aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição. Em fórmulas:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt},\qquad \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Para obter \vec{v}(t) integra-se \vec{a}(t) no tempo e ajusta-se a constante pela condição inicial \vec{v}(0)=\vec{v}_{0}. Para obter \vec{r}(t) integra-se \vec{v}(t) e usa-se \vec{r}(0)=\vec{r}_{0}.
Pequena revisão de cálculo que vamos usar: a integral de uma potência é
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
ex.: \int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}. Vou aplicar isso componente a componente (ou seja, integrar separadamente as componentes x,y,z).

Passo 3

Integro a componente x de \vec{a}. Como \vec{a}_{x}=2t^{2},
\int 2t^{2}\,dt = 2\int t^{2}\,dt = 2\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{2}{3}t^{3}.
Essa é a contribuição à velocidade na direção x. A constante de integração é a velocidade inicial na direção x; como \vec{v}_{0} não tem componente em x, temos \vec{v}_{0x}=0. Logo
\vec{v}_{x}(t)=\frac{2}{3}t^{3}.

Passo 4

Componente y: em \vec{a} a componente y é zero (não há termo \vec{e}_{y}), então a velocidade em y é constante. Pela condição inicial \vec{v}_{0y}=5, temos
\vec{v}_{y}(t)=5.

Passo 5

Componente z: a componente é \vec{a}_{z}=3t. Integro:
\int 3t\,dt = 3\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{3}{2}t^{2}.
A constante de integração é \vec{v}_{0z}=4. Portanto
\vec{v}_{z}(t)=\frac{3}{2}t^{2}+4.

Passo 6

Juntando as componentes, a velocidade como vetor é
\vec{v}(t)=\frac{2}{3}t^{3}\vec{e}_{x}+5\vec{e}_{y}+\left(\frac{3}{2}t^{2}+4\right)\vec{e}_{z}.
Verificação rápida: em t=0 retorna \vec{v}(0)=5\vec{e}_{y}+4\vec{e}_{z}, que é \vec{v}_{0}. Perfeito.

Passo 7

Agora obtenho \vec{r}(t) integrando \vec{v}(t). Faço componente a componente usando \vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\int_{0}^{t}\vec{v}(s)\,ds (ou equivalente indefinida com constantes ajustadas pelas condições iniciais).

Passo 8

Componente x de \vec{v} é \frac{2}{3}t^{3}. Integro:
\int \frac{2}{3}t^{3}\,dt = \frac{2}{3}\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{2}{12}t^{4}=\frac{1}{6}t^{4}.
A constante é \vec{r}_{0x}=3. Logo
\vec{r}_{x}(t)=\frac{1}{6}t^{4}+3.

Passo 9

Componente y: \vec{v}_{y}=5. Integro:
\int 5\,dt = 5t.
A constante é \vec{r}_{0y}=1. Portanto
\vec{r}_{y}(t)=5t+1.

Passo 10

Componente z: \vec{v}_{z}=\frac{3}{2}t^{2}+4. Integro termo a termo:
\int \frac{3}{2}t^{2}\,dt = \frac{3}{2}\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{1}{2}t^{3},
e
\int 4\,dt = 4t.
Somando e adicionando a constante \vec{r}_{0z}=-1, fica
\vec{r}_{z}(t)=\frac{1}{2}t^{3}+4t-1.

Passo 11

Juntando componentes, a posição como vetor é
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{6}t^{4}+3\right)\vec{e}_{x}+(5t+1)\vec{e}_{y}+\left(\frac{1}{2}t^{3}+4t-1\right)\vec{e}_{z}.

Resposta

\vec{v}(t)=\frac{2}{3}t^{3}\vec{e}_{x}+5\vec{e}_{y}+\left(\frac{3}{2}t^{2}+4\right)\vec{e}_{z}
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{6}t^{4}+3\right)\vec{e}_{x}+(5t+1)\vec{e}_{y}+\left(\frac{1}{2}t^{3}+4t-1\right)\vec{e}_{z}

Exercícios relacionados