1.20 Expresse em componentes cartesianas: (a) o vetor que se estende de A\left(\rho=4, \varphi=40^{\circ}, z=-2\right) até B(\rho=5, \varphi=-110^{\circ}, z=2 ); (b) um vetor unitário em B direcionado para A; (c) um vetor unitário em B direcionado para a origem.

Passo 1

O problema pede três coisas e fornece as coordenadas cilíndricas de dois pontos. Especificamente:
  • Pedir (a) o vetor que vai de A até B.
  • Pedir (b) um vetor unitário em B apontando para A.
  • Pedir (c) um vetor unitário em B apontando para a origem.
As informações dadas (em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z)) são:
A:\; \rho=4,\;\varphi=40^\circ,\;z=-2
B:\; \rho=5,\;\varphi=-110^\circ,\;z=2

Passo 2

Primeiro precisamos transformar as coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) em coordenadas cartesianas (x,y,z). A fórmula de conversão é:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Aqui \varphi está em graus; ao calcular \cos\varphi e \sin\varphi use os valores para os ângulos dados.
Calculemos as coordenadas de A:
\cos 40^\circ\approx 0,7660444431,\qquad \sin 40^\circ\approx 0,6427876097,
x_A=4\cos 40^\circ\approx 4\cdot0,7660444431=3,0641777725,
y_A=4\sin 40^\circ\approx 4\cdot0,6427876097=2,5711504387,
z_A=-2.
Calculemos as coordenadas de B:
\cos(-110^\circ)=\cos 110^\circ=-\cos70^\circ\approx -0,3420201433,
\sin(-110^\circ)=-\sin110^\circ=-\sin70^\circ\approx -0,9396926208,
x_B=5\cos(-110^\circ)\approx 5\cdot(-0,3420201433)=-1,7101007166,
y_B=5\sin(-110^\circ)\approx 5\cdot(-0,9396926208)=-4,698463104,
z_B=2.

Passo 3

Agora obtenhamos o vetor que vai de A até B. Em componentes cartesianas, o vetor \overrightarrow{AB} é
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
Substituindo os valores numéricos:
x_B-x_A\approx -1,7101007166-3,0641777725=-4,7742784891,
y_B-y_A\approx -4,698463104-2,5711504387=-7,2696135427,
z_B-z_A=2-(-2)=4.
Portanto
\overrightarrow{AB}\approx(-4,7742784891,\;-7,2696135427,\;4).

Passo 4

Para encontrar um vetor unitário em B direcionado para A precisamos do vetor que sai de B em direção a A; esse vetor é \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{r_A}-\overrightarrow{r_B}=-\overrightarrow{AB}. Então
\overrightarrow{BA}\approx(4,7742784891,\;7,2696135427,\;-4).
Um vetor unitário na direção de \overrightarrow{BA} é
\hat{u}_{BA}=\frac{\overrightarrow{BA}}{\|\overrightarrow{BA}\|},
onde a norma (comprimento) é
\|\overrightarrow{BA}\|=\sqrt{(4,7742784891)^2+(7,2696135427)^2+(-4)^2}.
Calculemos a soma dos quadrados:
(4,7742784891)^2\approx 22,7937329,
(7,2696135427)^2\approx 52,8472816,
(-4)^2=16.
Somando:
\|\overrightarrow{BA}\|^2\approx 22,7937329+52,8472816+16=91,6410145,
\|\overrightarrow{BA}\|\approx\sqrt{91,6410145}\approx 9,5737.

Passo 5

Agora dividimos componente a componente para obter o vetor unitário em B apontando para A:
\hat{u}_{BA}=\left(\frac{4,7742784891}{9,5737},\;\frac{7,2696135427}{9,5737},\;\frac{-4}{9,5737}\right).
Fazendo as divisões e arredondando para 4 casas decimais:
\hat{u}_{BA}\approx(0,4987,\;0,7593,\;-0,4180).

Passo 6

Para o vetor unitário em B direcionado para a origem, observe que o vetor de B até a origem é \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{r_B}=-\overrightarrow{r_B}=(-x_B,-y_B,-z_B). Com os valores numéricos:
\overrightarrow{BO}\approx(1,7101007166,\;4,698463104,\;-2).
A norma de \overrightarrow{BO} é simplesmente a distância de B à origem. Em coordenadas cilíndricas essa distância é \sqrt{\rho^2+z^2}. Como em B temos \rho=5 e z=2,
\|\overrightarrow{BO}\|=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\approx 5,385164807.

Passo 7

Dividimos \overrightarrow{BO} por \|\overrightarrow{BO}\|=\sqrt{29} para obter o vetor unitário:
\hat{u}_{BO}=\frac{\overrightarrow{BO}}{\sqrt{29}}=\left(\frac{1,7101007166}{\sqrt{29}},\;\frac{4,698463104}{\sqrt{29}},\;\frac{-2}{\sqrt{29}}\right).
Calculando numericamente e arredondando para 4 casas decimais:
\hat{u}_{BO}\approx(0,3177,\;0,8729,\;-0,3714).

Resposta

(a) \overrightarrow{AB}\approx(-4,7743,\;-7,2696,\;4)\n
(b) \hat{u}_{BA}\approx(0,4987,\;0,7593,\;-0,4180)\n
(c) \hat{u}_{BO}\approx(0,3177,\;0,8729,\;-0,3714)

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