1.20 Expresse em componentes cartesianas: (a) o vetor que se estende de A\left(\rho=4, \varphi=40^{\circ}, z=-2\right) até B(\rho=5, \varphi=-110^{\circ}, z=2 ); (b) um vetor unitário em B direcionado para A; (c) um vetor unitário em B direcionado para a origem.
Passo 1
O problema pede três coisas e fornece as coordenadas cilíndricas de dois pontos. Especificamente:
Pedir (a) o vetor que vai de A até B.
Pedir (b) um vetor unitário em B apontando para A.
Pedir (c) um vetor unitário em B apontando para a origem.
As informações dadas (em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z)) são:
A:\; \rho=4,\;\varphi=40^\circ,\;z=-2
B:\; \rho=5,\;\varphi=-110^\circ,\;z=2
Passo 2
Primeiro precisamos transformar as coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) em coordenadas cartesianas (x,y,z). A fórmula de conversão é:
Para encontrar um vetor unitário em B direcionado para A precisamos do vetor que sai de B em direção a A; esse vetor é \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{r_A}-\overrightarrow{r_B}=-\overrightarrow{AB}. Então
Fazendo as divisões e arredondando para 4 casas decimais:
\hat{u}_{BA}\approx(0,4987,\;0,7593,\;-0,4180).
Passo 6
Para o vetor unitário em B direcionado para a origem, observe que o vetor de B até a origem é \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{r_B}=-\overrightarrow{r_B}=(-x_B,-y_B,-z_B). Com os valores numéricos:
A norma de \overrightarrow{BO} é simplesmente a distância de B à origem. Em coordenadas cilíndricas essa distância é \sqrt{\rho^2+z^2}. Como em B temos \rho=5 e z=2,