Questão 10
Abandona-se uma pedra na boca de um poço de
de profundidade. O som do impacto da pedra ao atingir o fundo do poço é ouvido
depois de a pedra ser abandonada. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade igual a
. Determine a velocidade de propagação do som no local.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade de propagação do som no local, dado que:
- a profundidade do poço é
;
- o tempo total entre abandonar a pedra e ouvir o impacto é
;
- despreza-se a resistência do ar;
- a aceleração da gravidade vale
.
O que precisamos encontrar é a velocidade do som (vou chamar de).
Passo 2
Vamos identificar os tempos envolvidos e definir variáveis:
- seja
o tempo que a pedra leva para atingir o fundo do poço;
- seja
o tempo que o som leva para subir do fundo até a boca do poço;
- o tempo total dado é
, logo
Também a distância percorrida pela pedra é a profundidade do poço, que chamamos de
Passo 3
Agora precisamos de uma fórmula para
, o tempo de queda livre da pedra. Para movimento com aceleração constante, partindo do repouso, a distância percorrida em tempo
é dada por
onde:
-
é a distância percorrida (no nosso caso a profundidade do poço);
-
é a aceleração (aqui );
-
é o tempo de queda (aqui ).
Essa fórmula vem do fato de que a velocidade cresce linearmente em queda livre:, e a distância é a integral (ou média) da velocidade no intervalo, resultando em .
Passo 4
Aplicando a fórmula para encontrar
:
Simplifico o lado direito:
logo
Isolando
:
Tomando raiz quadrada (só a positiva, pois tempo é positivo):
porque
. (Aqui mostrei a verificação para você poder usar sem calculadora na prova.)
Passo 5
Agora encontramos o tempo que o som levou, subtraindo do tempo total:
Passo 6
Ligue
com a velocidade do som
. Sabemos que o som percorre
em
, então
Faço a conta sem calculadora: multiplico numerador e denominador por
para eliminar vírgulas
Agora divido:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida de consistência:
é quase todo o tempo total
, restando
para o som, e em
uma velocidade de
percorre
. Faz sentido físico e os números batem certinho — ótima verificação para a prova. Força aí, você já entendeu o passo a passo!