Questão 10

Abandona-se uma pedra na boca de um poço de 51,2 \mathrm{~m} de profundidade. O som do impacto da pedra ao atingir o fundo do poço é ouvido 3,36 \mathrm{~s} depois de a pedra ser abandonada. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine a velocidade de propagação do som no local.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade de propagação do som no local, dado que:
  • a profundidade do poço é \,51,2\\ \mathrm{~m};
  • o tempo total entre abandonar a pedra e ouvir o impacto é \,3,36\\ \mathrm{s};
  • despreza-se a resistência do ar;
  • a aceleração da gravidade vale \,10\\ \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

    O que precisamos encontrar é a velocidade do som (vou chamar de v).

Passo 2

Vamos identificar os tempos envolvidos e definir variáveis:
  • seja t_1 o tempo que a pedra leva para atingir o fundo do poço;
  • seja t_2 o tempo que o som leva para subir do fundo até a boca do poço;
  • o tempo total dado é \,t_{\text{total}}=3,36\\ \mathrm{s}, logo
t_{\text{total}} = t_1 + t_2.

Também a distância percorrida pela pedra é a profundidade do poço, que chamamos de s=51,2\\ \mathrm{~m}, e a velocidade do som é v. O som percorre a distância s em tempo t_2, então
t_2=\dfrac{s}{v}.

Passo 3

Agora precisamos de uma fórmula para t_1, o tempo de queda livre da pedra. Para movimento com aceleração constante, partindo do repouso, a distância percorrida em tempo t é dada por
s = \tfrac{1}{2}\,a\,t^{2},
onde:
  • s é a distância percorrida (no nosso caso a profundidade do poço);
  • a é a aceleração (aqui a=g=10\\ \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2});
  • t é o tempo de queda (aqui t=t_1).

    Essa fórmula vem do fato de que a velocidade cresce linearmente em queda livre: v(t)=a t, e a distância é a integral (ou média) da velocidade no intervalo, resultando em s=(v_{\text{médio}})\,t=(\tfrac{1}{2}a t)\,t=\tfrac{1}{2}a t^2é.

Passo 4

Aplicando a fórmula para encontrar t_1:
51,2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot t_1^{2}.
Simplifico o lado direito:
\tfrac{1}{2}\cdot 10 = 5,
logo
51,2 = 5\,t_1^{2}.
Isolando t_1^{2}:
t_1^{2} = \dfrac{51,2}{5} = 10,24.
Tomando raiz quadrada (só a positiva, pois tempo é positivo):
t_1 = \sqrt{10,24} = 3,2\\ \mathrm{s},
porque 3,2^{2}=10,24. (Aqui mostrei a verificação para você poder usar sem calculadora na prova.)

Passo 5

Agora encontramos o tempo que o som levou, subtraindo do tempo total:
t_2 = t_{\text{total}} - t_1 = 3,36 - 3,2 = 0,16\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Ligue t_2 com a velocidade do som v. Sabemos que o som percorre s em t_2, então
v = \dfrac{s}{t_2} = \dfrac{51,2}{0,16}.
Faço a conta sem calculadora: multiplico numerador e denominador por 100 para eliminar vírgulas
\dfrac{51,2}{0,16} = \dfrac{51,2\times 100}{0,16\times 100} = \dfrac{5120}{16}.
Agora divido:
\dfrac{5120}{16} = 320.
Portanto
v = 320\\ \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 7

Checagem rápida de consistência: t_1=3,2\\ \mathrm{s} é quase todo o tempo total 3,36\\ \mathrm{s}, restando 0,16\\ \mathrm{s} para o som, e em 0,16\\ \mathrm{s} uma velocidade de 320\\ \mathrm{~m} / \mathrm{s} percorre 51,2\\ \mathrm{~m}. Faz sentido físico e os números batem certinho — ótima verificação para a prova. Força aí, você já entendeu o passo a passo!

Resposta

320\\ \mathrm{~m} / \mathrm{s}

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