Durante um experimento, um pesquisador anotou as posições de dois móveis A e B, elaborando a tabela a seguir.
Tempo (t) em
segundos
Posição em metros
A B
0 -5 15
1 0 0
2 5 -5
3 10 0
4 15 15
O movimento de A é retilíneo uniforme e o de B é retilíneo uniformemente variado. Com base nestas informações, determine as funções horárias - x(t), v(t) e a(t) - para os móveis A e B.

Passo 1

O enunciado dá as posições dos móveis A e B em instantes t=0,1,2,3,4 (em segundos) na tabela abaixo:
\begin{array}{c|cc} t\\ (\text{s}) & x_A\\ (\text{m}) & x_B\\ (\text{m})\\hline 0 & -5 & 15\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 5 & -5\\\\ 3 & 10 & 0\\\\ 4 & 15 & 15 \end{array}
As condições fornecidas pelo enunciado são:
  • O móvel A realiza movimento retilíneo uniforme (velocidade constante).
  • O móvel B realiza movimento retilíneo uniformemente variado (aceleração constante).
O que o problema pede:
  • Determinar as funções horárias de posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t) para A e para B.

Passo 2

Conceito e fórmula do movimento retilíneo uniforme (MRU): MRU significa velocidade constante. A fórmula horária da posição é
x(t)=x_0+v\,t,
onde x_0 é a posição em t=0 e v é a velocidade constante (unidades: metros e metros por segundo). A velocidade também pode ser obtida pela razão entre a variação de posição e a variação de tempo:
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.
Aplicando isso ao móvel A:
  • Do dado em t=0 temos imediatamente x_{0,A}=x_A(0)=-5 (peguei esse dado da tabela).
  • Usando t=0 e t=1 para calcular v,
v_A=\frac{x_A(1)-x_A(0)}{1-0}=\frac{0-(-5)}{1}=5\\ \text{m/s}.
Portanto a função posição de A é
x_A(t)=-5+5t.
A velocidade é constante:
v_A(t)=5\\ \text{m/s}.
A aceleração é a derivada da velocidade; como a velocidade é constante, a aceleração é nula:
a_A(t)=0\\ \text{m/s}^2.

Passo 3

Conceito e fórmula do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV): MRUV significa aceleração constante a. A fórmula horária da posição é
x(t)=x_0+v_0 t+\tfrac{1}{2}a t^2,
onde x_0 é a posição em t=0, v_0 é a velocidade inicial (em t=0) e a é a aceleração constante. A velocidade em função do tempo é
v(t)=v_0+a t,
e a aceleração é constante a(t)=a.
Vamos usar pontos da tabela para encontrar x_{0,B},v_{0,B},a_B.
  • Do dado em t=0 (peguei esse dado da tabela) temos x_{0,B}=x_B(0)=15.
  • Usando t=1 e t=2 aplicamos a fórmula da posição para obter um sistema para v_0 e a.
Escrevendo as equações:
para t=1:
x_B(1)=15+v_0\cdot 1+\tfrac{1}{2}a\cdot 1^2 =0,
portanto
v_0+\tfrac{1}{2}a=-15. \tag{1}
para t=2:
x_B(2)=15+v_0\cdot 2+\tfrac{1}{2}a\cdot 2^2 =-5,
portanto
2v_0+2a=-20. \tag{2}

Passo 4

Resolver o sistema obtido nos passos anteriores. Primeiro multiplico a equação (1) por 2 para eliminar a fração:
2v_0 + a = -30. \tag{1'}
Agora subtrai-se (1') de (2):
(2v_0+2a) - (2v_0+a) = -20 - (-30).
No lado esquerdo sobra a; no direito fica 10. Logo
a=10\\ \text{m/s}^2.
Substituindo a=10 em (1'):
2v_0 + 10 = -30 \implies 2v_0 = -40 \implies v_0 = -20\\ \text{m/s}.
Assim temos para B:
x_B(t)=15 -20t + \tfrac{1}{2}\cdot 10\,t^2 = 15 -20t +5t^2.
A velocidade:
v_B(t)=v_0 + a t = -20 + 10t.
A aceleração (constante):
a_B(t)=10\\ \text{m/s}^2.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): substituir t=3 e t=4 em x_B(t) para conferir com a tabela.
  • Para t=3: x_B(3)=15-20\cdot 3 +5\cdot 3^2 =15-60+45=0 (confere com a tabela).
  • Para t=4: x_B(4)=15-20\cdot 4 +5\cdot 16 =15-80+80=15 (confere com a tabela).
Observação didática final: outra forma rápida de identificar MRU ou MRUV numa tabela é olhar para as diferenças sucessivas de posições. Se as diferenças \Delta x entre tempos consecutivos são constantes, é MRU; se as diferenças das diferenças ( \Delta^2 x) são constantes, é MRUV (e essa constante está relacionada com a). Isso ajuda a escolher a fórmula rapidamente na prova. Força aí — você consegue!

Resposta

x_A(t)=-5+5t,\quad v_A(t)=5,\quad a_A(t)=0.
x_B(t)=15-20t+5t^2,\quad v_B(t)=-20+10t,\quad a_B(t)=10.

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