20^{\mathrm{a}} ) Os eventos Ei representam as procedências das peças (fornecedores 1,2,3 e 4), e o evento F representa peças não conforme. Repare que os eventos Ei (fornecedores) são mutuamente exclusivos; e que o evento F tem interseção com cada um deles (uma vez que todos os fornecedores produzem peças não conformes). Suponha a mesma probabilidade para todos os fornecedores, isto é, \mathrm{P}(\mathrm{E} 1)=\mathrm{P}(\mathrm{E} 2)=\mathrm{P}(\mathrm{E} 3)=\mathrm{P}(\mathrm{E} 4)=0,25 e as probabilidades de não conformidades para cada fornecedor sejam: \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E} 1)=0,1, \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E} 2)=0,1, \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E} 3)=0,2, \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E} 4)=0,4.
a) Se selecionarmos aleatoriamente uma peça, qual a probabilidade de que ela seja não conforme? (Teorema de Probabilidade Total )
b) Sabendo-se que a peça é não conforme, qual é a probabilidade de que ela tenha vindo do fornecedor 4? (Teorema de Bayes)

Passo 1

O enunciado descreve quatro eventos E_1,E_2,E_3,E_4 correspondendo aos fornecedores, com \mathrm{P}(E_i)=0,25 para todo i. O evento F é “peça não conforme” e temos as probabilidades condicionais
\mathrm{P}(F\mid E_1)=0,1,
\mathrm{P}(F\mid E_2)=0,1,
\mathrm{P}(F\mid E_3)=0,2,
\mathrm{P}(F\mid E_4)=0,4.
(a) Pede-se \mathrm{P}(F) usando o Teorema da Probabilidade Total.
(b) Pede-se \mathrm{P}(E_4\mid F) usando o Teorema de Bayes.

Passo 2

Pelo Teorema da Probabilidade Total, como os E_i formam uma partição,
\mathrm{P}(F) =\sum_{i=1}^{4}\mathrm{P}(E_i)\,\mathrm{P}(F\mid E_i) =0,25\,(0,1+0,1+0,2+0,4) =0,25\times0,8 =0,2.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes,
\mathrm{P}(E_4\mid F) =\frac{\mathrm{P}(E_4)\,\mathrm{P}(F\mid E_4)}{\mathrm{P}(F)} =\frac{0,25\times0,4}{0,2} =\frac{0,10}{0,2} =0,5.

Resposta

a) \mathrm{P}(F)=0,2
b) \mathrm{P}(E_4\mid F)=0,5

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