Embora o fumo tenha sido banido de muitos locais públicos na Europa, uma grande proporção de adultos europeus ainda fuma diariamente. Em uma amostra aleatória de 250 adultos da Bulgária, 92 eram fumantes diários e, em outra amostra aleatória de 300 adultos na Grécia, 114 eram fumantes diários. Há alguma evidência que sugira que a verdadeira proporção de fumantes diários seja diferente na Bulgária e na Grécia? Use \alpha=0,04. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para comparar as proporções de fumantes diários em duas populações (Bulgária e Grécia) usando um teste de hipótese para diferença de proporções. Vamos usar o procedimento assintótico que envolve as estimativas de proporção amostral, o estimador conjunto (pooled) sob H_0 e a estatística z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e verificamos as condições de uso da aproximação normal:
H_0:\;p_1 = p_2 \quad\text{vs.}\quad H_1:\;p_1 \neq p_2,
com \alpha=0,04.
Condições: em cada amostra, n_i\hat p_i\ge5 e n_i(1-\hat p_i)\ge5. Como 92, 250-92=158, 114 e 300-114=186 são todos >=5, podemos usar a aproximação normal.

Passo 3

Calculamos as proporções amostrais e o estimador conjunto sob H_0:
\hat p_1 = \frac{92}{250} = 0,368, \quad \hat p_2 = \frac{114}{300} = 0,380,
\hat p = \frac{92+114}{250+300} = \frac{206}{550}\approx0,375.

Passo 4

Calculamos o erro-padrão da diferença sob H_0:
\mathrm{SE} = \sqrt{\hat p\,(1-\hat p)\,\Bigl(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\Bigr)} = \sqrt{0,375\cdot0,625\cdot\bigl(\tfrac1{250}+\tfrac1{300}\bigr)} \approx0,0414.

Passo 5

Computamos a estatística de teste z e comparamos com o crítico:
z = \frac{\hat p_1 - \hat p_2}{\mathrm{SE}} = \frac{0,368 - 0,380}{0,0414} \approx -0,29.
Para \alpha=0,04 bilateral, o valor crítico é
z_{1-\alpha/2} = z_{0,98}\approx2,054.
Como -2,054 < -0,29 < 2,054, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência significativa, ao nível de 4\%, de que a proporção de fumantes diários difira entre a Bulgária e a Grécia.

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