20 Mostre que t1/2 é dado pela Eq. 20B. 6 para uma reação que é de ordem n em A. A seguir obtenha uma expressão para esse tempo considerando que a concentração de uma substância cai para um terço do valor inicial em uma reação de ordem n.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que, para uma reação de ordem n em A com lei de velocidade
-\frac{d[A]}{dt}=k\,[A]^n,
o tempo de meia‐vida t_{1/2} se escreve como na Eq. 20B.6; (ii) em seguida, obter a expressão análoga para o tempo em que a concentração cai a um terço do valor inicial.

Passo 2

Integramos a lei de velocidade separando variáveis:
\int_{[A]_0}^{[A]} [A]^{-n}\,d[A] = -k\int_{0}^{t}dt
\frac{[A]^{\,1-n} - [A]_0^{\,1-n}}{1-n} = -k\,t \quad\Longrightarrow\quad [A]^{\,1-n} = [A]_0^{\,1-n} + (n-1)\,k\,t.

Passo 3

Para t=t_{1/2}, substituímos [A]=[A]_0/2:
\bigl([A]_0/2\bigr)^{1-n} - [A]_0^{\,1-n} = (n-1)\,k\,t_{1/2} \quad\Longrightarrow\quad [A]_0^{\,1-n}\bigl(2^{\,n-1}-1\bigr)=(n-1)\,k\,t_{1/2}.
Logo
t_{1/2}=\frac{2^{\,n-1}-1}{(n-1)\,k\,[A]_0^{\,n-1}},
o que coincide com a Eq. 20B.6.

Passo 4

Para uma fração genérica \alpha de [A]_0, fazemos [A]=\alpha\,[A]_0 e obtemos
(\alpha\,[A]_0)^{1-n}-[A]_0^{\,1-n}=(n-1)\,k\,t_{\alpha} \quad\Longrightarrow\quad t_{\alpha}=\frac{\alpha^{\,1-n}-1}{(n-1)\,k\,[A]_0^{\,n-1}}.
No caso de \alpha=1/3, tem-se \alpha^{1-n}=(1/3)^{1-n}=3^{\,n-1}, portanto
t_{1/3}=\frac{3^{\,n-1}-1}{(n-1)\,k\,[A]_0^{\,n-1}}.

Resposta

t_{1/2}=\frac{2^{\,n-1}-1}{(n-1)\,k\,[A]_0^{\,n-1}}, \qquad t_{1/3}=\frac{3^{\,n-1}-1}{(n-1)\,k\,[A]_0^{\,n-1}}.

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