Deduza a forma integrada da cinética de terceira ordem v=k[A] 2[B], para uma reação com a estequiometria 2 A+B \rightarrow P. No instante inicial,
os mols de B correspondem ao dobro da quantidade estequiométrica.

Passo 1

O enunciado trata de uma reação com estequiometria
2A + B \longrightarrow P
cuja cinética experimental obedece à lei de velocidade de terceira ordem
v = k\,[A]^2\,[B].
Além disso, no instante t=0 a concentração inicial de B é o dobro da quantidade estequiométrica em relação a A. Como, segundo a estequiometria, para cada 2 mols de A consome-se 1 mol de B, isso implica
[B]_0 = 2 \times \frac{[A]_0}{2} = [A]_0.
Nos próximos passos vamos: (i) expressar [A] e [B] em função do avanço de reação, (ii) montar a EDO, (iii) separar variáveis, (iv) integrar por frações parciais e (v) aplicar a condição inicial para obter a forma integrada final.

Passo 2

Defina o avanço de reação \xi de modo que, no instante t,
[A] = [A]_0 - 2\,\xi, \qquad [B] = [B]_0 - \xi = [A]_0 - \xi.
Como \xi = \bigl([A]_0 - [A]\bigr)/2, substituímos em [B]:
[B] = [A]_0 - \frac{[A]_0 - [A]}{2} = \frac{[A]_0 + [A]}{2}.

Passo 3

Escrevendo v = -\frac{d[A]}{dt} e substituindo [B]:
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2\,\frac{[A]_0 + [A]}{2} = \frac{k}{2}\,\bigl([A]_0 + [A]\bigr)\,[A]^2.
Separamos variáveis:
\frac{d[A]}{[A]^2\,\bigl([A]_0 + [A]\bigr)} = -\frac{k}{2}\,dt.

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais em
\frac{1}{[A]^2\,([A]_0 + [A])} =\frac{C}{[A]}+\frac{D}{[A]^2}+\frac{E}{[A]_0+[A]}.
O resultado das constantes é
C=-\frac{1}{[A]_0^2},\quad D=\frac{1}{[A]_0},\quad E=\frac{1}{[A]_0^2},
e a integral fica
\int\frac{d[A]}{[A]^2([A]_0+[A])} = \frac{1}{[A]_0^2}\ln\!\frac{[A]+[A]_0}{[A]} -\frac{1}{[A]_0}\,\frac{1}{[A]} + \text{constante}.

Passo 5

Aplicando o limite inicial t=0, [A]=[A]_0, determina‐se a constante de integração e obtém‐se após rearranjo
\frac{[A]_0}{[A]} + \ln\!\biggl(\frac{2\,[A]}{[A]+[A]_0}\biggr) = 1 - \frac{k\,[A]_0^2}{2}\,t.

Resposta

\boxed{ \frac{[A]_0}{[A]} \;+\; \ln\!\biggl(\frac{2\,[A]}{[A]+[A]_0}\biggr) \;=\; 1 \;-\;\frac{k\,[A]_0^2}{2}\,t }

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