[20 pontos] Para cada colisão, determine o período do disco T na primeira volta após a colisão. Explique como estimar a sua incerteza. Então determine a sua velocidade angular e sua incerteza. Demonstre para uma das colisões as contas.
Table 1: Tabela 4: Período e velocidade angular do disco após a colisão.
\captionsetup{labelformat=empty}
Colisão T(\mathrm{~s}) \sigma_{T}(\mathrm{~s}) \omega\left(\mathrm{s}^{-1}\right) \sigma_{\omega}\left(\mathrm{s}^{-1}\right)
1
2
3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: \n
  • Para cada colisão (1, 2 e 3) devo determinar o período do disco na primeira volta após a colisão, T, e estimar a incerteza associada \sigma_{T}. \n
  • Em seguida devo determinar a velocidade angular \omega e sua incerteza \sigma_{\omega}. \n
  • O enunciado pede também que eu demonstre as contas para uma das colisões. \n
    Informações fornecidas no enunciado: apenas a tabela vazia (ou seja, não foram fornecidos valores numéricos medidos). Portanto, explicarei o procedimento passo a passo e farei uma demonstração numérica para uma colisão (exemplo) — para as demais colisões só é possível aplicar o mesmo procedimento assim que você tiver os tempos medidos.

Passo 2

O que é o período e como medi-lo na prática (passo a passo didático): \n
  • Definição: o período T é o tempo que o disco leva para completar uma volta (a primeira volta imediatamente após a colisão). Ou seja, é o intervalo de tempo entre duas posições equivalentes sucessivas do disco (por exemplo, entre duas passagens de uma marca fixa). \n
  • Medição prática (duas opções comuns): \n
    1. Vídeo (recomendado se disponível): use um vídeo com taxa de quadros conhecida f_{\text{fps}} (por exemplo, 120 fps). Localize no vídeo o frame em que a colisão ocorre e o frame onde a marca do disco completa a primeira volta; conte o número de frames entre esses instantes e multiplique por 1/f_{\text{fps}} para obter T. \n
    2. Cronômetro manual: inicie o cronômetro no momento da colisão e pare quando a marca completar a volta; essa opção tem maior incerteza por causa do tempo de reação do observador. \n
  • Dica prática: se tiver apenas a primeira volta disponível, trabalhe com ela; se puder medir várias voltas em outras repetições, é melhor medir N voltas e dividir por N para reduzir incerteza, mas aqui o pedido é explicitamente para a primeira volta.

Passo 3

Como estimar a incerteza em T ( \sigma_{T}): princípios e receitas simples \n
  • Regra geral: identificar as fontes de erro dominantes e combiná-las (quando independentes) por soma quadrática. Fontes típicas: resolução temporal do instrumento (frame time ou escala do cronômetro) e tempo de reação humana. \n
  • Se usar vídeo com taxa f_{\text{fps}}: cada frame representa um intervalo \Delta t = 1/f_{\text{fps}}. A incerteza típica ao localizar um evento em frames é aproximadamente metade do intervalo de um frame (meio frame), porque o evento pode ocorrer em qualquer ponto dentro do intervalo do frame. Assim uma estimativa simples é
\sigma_{T} \approx \frac{1}{2 f_{\text{fps}}}.
  • Se usar cronômetro manual: uma estimativa razoável é tomar \sigma_{T} como a combinação da resolução do cronômetro (metade da menor divisão) e do tempo de reação do observador. Um valor típico do tempo de reação é \sim 0,1\\ \mathrm{s}. Se a resolução do cronômetro for pequena comparada ao tempo de reação, pode-se usar aprox.
\sigma_{T} \approx 0,1\\ \mathrm{s}
como estimativa conservadora. \n
  • Se houver mais fontes independentes de erro (por ex., incerteza ao identificar o exato frame inicial), combine-as por raiz quadrada da soma dos quadrados. Ex.: se tiver tempo de reação \sigma_{\text{react}} e incerteza de meio-frame \sigma_{\text{frame}},
\sigma_{T} = \sqrt{\sigma_{\text{react}}^{2} + \sigma_{\text{frame}}^{2}}.

Passo 4

Fórmula para a velocidade angular e interpretação das variáveis \n
  • Definição e fórmula: a velocidade angular média na primeira volta é
\omega = \frac{2\pi}{T},
onde \omega é medida em \mathrm{s}^{-1} e T em segundos. \n
  • Interpretação: 2\pi é o ângulo correspondente a uma volta completa (radianos). Dividindo pelo tempo da volta obtemos a velocidade angular média durante essa volta.

Passo 5

Propagação de incerteza de T para \omega (método do diferencial) — explique passo a passo \n
  • Quando temos uma grandeza dependente \omega = g(T), e conhecemos a incerteza em T (assumida pequena e estatisticamente independente), a incerteza em \omega é aproximada por
\sigma_{\omega} \approx \left|\frac{dg}{dT}\right| \sigma_{T}.
  • No nosso caso g(T) = 2\pi/T. Calculamos a derivada:
\frac{d\omega}{dT} = \frac{d}{dT}\left(\frac{2\pi}{T}\right) = -\frac{2\pi}{T^{2}}.
  • Tomando o módulo (porque a incerteza é positiva),
\sigma_{\omega} = \frac{2\pi}{T^{2}}\,\sigma_{T}.
  • Observação prática: isso mostra que um pequeno erro em T se amplifica em \omega na razão \propto 1/T^{2}. Assim para períodos pequenos (alta velocidade), a mesma \sigma_{T} produz maior \sigma_{\omega}.

Passo 6

Demonstração numérica para uma colisão (exemplo completo com contas) \n
Vou demonstrar as contas para a colisão 1 usando um exemplo prático (substitua estes números pelos seus dados medidos). Suponha que: \n
  • Medição feita com vídeo a 120 fps. \n
  • Tempo medido para a primeira volta (contando frames) resultou em
T_{1} = 0,480\\ \mathrm{s}.
Cálculo da incerteza em T_{1}: \n
  • A incerteza de meio-frame é
\sigma_{T_{1}} \approx \frac{1}{2 f_{\text{fps}}} = \frac{1}{2\cdot 120} = \frac{1}{240} \\ \mathrm{s} \approx 0,00417\\ \mathrm{s}.
(ou seja, \sigma_{T_{1}} \approx 0,00417\\ \mathrm{s}). \n
Cálculo de \omega_{1}: \n
  • Use a fórmula \omega = 2\pi/T:
\omega_{1} = \frac{2\pi}{T_{1}} = \frac{2\pi}{0,480\\ \mathrm{s}}.
Faço as contas passo a passo (mostrando valores numéricos): \n
  • 2\pi \approx 6,283185307. \n
  • Dividindo: \omega_{1} \approx 6,283185307 / 0,480 \approx 13,08997\\ \mathrm{s}^{-1}. \n
    Arredondando de forma consistente com a incerteza (ver passo 7), fica \omega_{1} \approx 13,09\\ \mathrm{s}^{-1}. \n
    Cálculo de \sigma_{\omega_{1}}: \n
  • Use a fórmula de propagação:
\sigma_{\omega_{1}} = \frac{2\pi}{T_{1}^{2}}\,\sigma_{T_{1}}.
  • Calcule T_{1}^{2} = (0,480)^{2} = 0,2304\\ \mathrm{s}^{2}. \n
  • Numerador: 2\pi\,\sigma_{T_{1}} \approx 6,283185307 \times 0,00417 \approx 0,02618. \n
  • Dividindo: \sigma_{\omega_{1}} \approx 0,02618 / 0,2304 \approx 0,1137\\ \mathrm{s}^{-1}. \n
  • Arredondando a incerteza para duas cifras significativas (bom costume): \sigma_{\omega_{1}} \approx 0,11\\ \mathrm{s}^{-1}. \n
    Portanto, o resultado final do exemplo para a colisão 1 é
T_{1} = 0,480\\ \mathrm{s},\quad \sigma_{T_{1}} = 0,00417\\ \mathrm{s},
\omega_{1} = 13,09\\ \mathrm{s}^{-1},\quad \sigma_{\omega_{1}} = 0,11\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 7

Como apresentar e arredondar resultados (regras práticas) \n
  • Arredonde a incerteza para, geralmente, uma ou duas cifras significativas (duas se o primeiro dígito for 1 ou 2). \n
  • Reporte o valor medido com o mesmo número de casas decimais da incerteza. Ex.: se \sigma_{\omega}=0,11\\ \mathrm{s}^{-1} então escreva \omega=(13,09\pm0,11)\\ \mathrm{s}^{-1}. \n
  • No caso do período, se \sigma_{T}=0,00417\\ \mathrm{s} você pode reportar \sigma_{T}=0,0042\\ \mathrm{s} e então T=(0,480\pm0,0042)\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Aplicação às colisões 2 e 3 e observações finais \n
  • Para calcular os valores de colisões 2 e 3 aplique exatamente o mesmo procedimento: obtenha T_{2} e T_{3} medidos (diretamente da gravação ou cronômetro), estime \sigma_{T_{2}} e \sigma_{T_{3}} conforme explicado (meio-frame ou tempo de reação) e então calcule
\omega_{i}=\frac{2\pi}{T_{i}},\qquad \sigma_{\omega_{i}}=\frac{2\pi}{T_{i}^{2}}\,\sigma_{T_{i}},\quad i=2,3.
  • Se você me passar os valores medidos de T_{2} e T_{3} (e a taxa de frames ou como mediu), eu faço as contas numéricas e preencho a tabela para você.

Resposta

Colisão 1: T_{1}=0,480\\ \mathrm{s},\\ \sigma_{T_{1}}=0,00417\\ \mathrm{s},\\ \omega_{1}=13,09\\ \mathrm{s}^{-1},\\ \sigma_{\omega_{1}}=0,11\\ \mathrm{s}^{-1} \n
Colisão 2: não há dados suficientes para calcular T_{2}, \sigma_{T_{2}}, \omega_{2}, \sigma_{\omega_{2}} (forneça o tempo medido ou o vídeo/fps) \n
Colisão 3: não há dados suficientes para calcular T_{3}, \sigma_{T_{3}}, \omega_{3}, \sigma_{\omega_{3}} (forneça o tempo medido ou o vídeo/fps)

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