2 de 2 Duas fendas separadas por uma distância de 0,450 \mathrm{~mm} são colocadas distância de 75,0 \mathrm{~cm} de uma tela. Qual é a distância entre a segunda ceira franja escura na figura de interferência que se forma sobre a tela quando as fendas são iluminadas por luz coerente de comprimento de onda igual a 500 nm ?

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar tudo claramente) e pergunta uma coisa:
  • Separação entre as fendas: d = 0,450\\ \mathrm{mm}.
  • Distância fendas-tela: L = 75,0\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 500\\ \mathrm{nm}.
    Pergunta (interpretação): qual é a distância entre as duas segundas franjas escuras simétricas do padrão de interferência na tela (ou seja, entre a segunda franja escura acima do centro e a segunda abaixo do centro)? Vou usar essa interpretação porque é a mais comum para esse tipo de pergunta.

Passo 2

Conceito que precisamos entender (sem ainda calcular): onde aparecem as franjas escuras (mínimos) no padrão de dupla fenda. A condição para um mínimo (franja escura) é que a diferença de caminho entre as duas fendas seja igual a (m+\tfrac{1}{2})\lambda, com m=0,1,2,\dots. Escrevendo isso com a geometria da dupla fenda:
d\,\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
Aqui:
  • d é a separação entre as fendas (distância entre as duas fontes),
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo central até a franja considerada,
  • \lambda é o comprimento de onda da luz,
  • m é o índice do mínimo: m=0 dá o primeiro mínimo (mais próximo do centro), m=1 o segundo mínimo, etc.

Passo 3

Como se traduz \theta em posição y na tela? Quando a tela está bem longe relativamente às fendas (o que acontece aqui porque L é muito maior que d), o ângulo \theta é pequeno e podemos usar a boa aproximação:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{y}{L},
onde y é a distância vertical da franja ao centro do padrão na tela e L é a distância fendas–tela. Substituindo na condição do mínimo obtemos a posição do m-ésimo mínimo:
y_m = \frac{\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda L}{d}.
Explicação curta da aproximação: para ângulos pequenos (em radianos) \sin\theta e \tan\theta são aproximadamente iguais a \theta, e geometricamente \tan\theta = y/L. Aqui L=0,75\\ \mathrm{m} e d=4{,}50\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}, claramente L\gg d, então a aproximação é segura.

Passo 4

Identificar o m da “segunda franja escura”: o primeiro mínimo (mais perto do centro) corresponde a m=0; portanto a segunda franja escura corresponde a m=1. Assim a posição (distância do centro) da segunda franja escura é
y_1 = \frac{\left(1+\tfrac{1}{2}\right)\lambda L}{d} = \frac{\tfrac{3}{2}\,\lambda L}{d}.
Agora converto todas as unidades para o SI antes de calcular:
d = 0,450\\ \mathrm{mm} = 4{,}50\times 10^{-4}\\ \mathrm{m},
L = 75{,}0\\ \mathrm{cm} = 0,750\\ \mathrm{m},
\lambda = 500\\ \mathrm{nm} = 5{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

A distância entre as duas segundas franjas escuras simétricas (acima e abaixo do centro) é 2y_1. Podemos simplificar a expressão:
2y_1 = 2\cdot\frac{3}{2}\,\frac{\lambda L}{d} = 3\,\frac{\lambda L}{d}.
Agora cálculo numérico passo a passo:
3\,\frac{\lambda L}{d} = 3\cdot\frac{5{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}\cdot 0{,}750\\ \mathrm{m}}{4{,}50\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}}.
Calcule o numerador:
5{,}00\times 10^{-7}\cdot 0{,}750 = 3{,}75\times 10^{-7}.
Multiplicando por 3:
3\cdot 3{,}75\times 10^{-7} = 1{,}125\times 10^{-6}.
Dividindo pelo denominador:
\frac{1{,}125\times 10^{-6}}{4{,}50\times 10^{-4}} = \frac{1{,}125}{4{,}50}\times 10^{-6 -(-4)} = 0{,}25\times 10^{-2} = 2{,}50\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para uma unidade prática:
2{,}50\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}50\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Resumo final (resultado com interpretação física): a distância entre a segunda franja escura acima do centro e a segunda franja escura abaixo do centro é \,2{,}50\\ \mathrm{mm}. Força aí — já já você domina isso!

Resposta

2{,}50\\ \mathrm{mm}

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