(20 pontos) Calcule a integral dupla
\iint_{R}\left(y^{2}-x\right) d A
sendo R delimitado por x=y^{2}, x=-2 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(y^{2}-x\right)\,dA,
onde R é delimitado pelas curvas x=y^{2} e x=-2y^{2}.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,y^{2}-x.
  • As curvas que limitam R são x=y^{2} e x=-2y^{2}.
  • Não há outras curvas ou retas mencionadas no enunciado.
Pergunta a responder:
  • Qual é o valor da integral dupla \iint_{R}(y^{2}-x)\,dA sobre a região R descrita acima?

Passo 2

Decisão do método de integração (e por quê).
  • As curvas que delimitam R estão dadas como x= função de y. Isso torna natural integrar primeiro em x (fatias verticais): para cada y fixo, x varia entre as duas curvas.
  • Precisamos identificar o intervalo de y. Para qualquer y\in\mathbb{R} tem-se x=-2y^{2}\le x\le y^{2}, logo y varia por toda a reta real (não há outro ponto de interseção além de y=0). Assim a região R é não limitada em y (é uma região ilimitada), e a integral será uma integral imprópria em y.
Portanto vamos escrever a integral na ordem dx\,dy:
\iint_{R}(y^{2}-x)\,dA=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{x=-2y^{2}}^{x=y^{2}}(y^{2}-x)\,dx\right)dy.

Passo 3

Cálculo da integral interna em x.
  • Para y fixo, calcule
\int_{-2y^{2}}^{y^{2}}(y^{2}-x)\,dx.
  • Antiderivada em relação a x: \displaystyle \int (y^{2}-x)\,dx = y^{2}x-\frac{x^{2}}{2} (aqui y é constante ao integrar em x).
Avalia-se nos limites x=-2y^{2} e x=y^{2}:
\begin{aligned} \left[y^{2}x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=-2y^{2}}^{x=y^{2}} &= \left(y^{2}\cdot y^{2}-\frac{(y^{2})^{2}}{2}\right) - \left(y^{2}\cdot(-2y^{2})-\frac{(-2y^{2})^{2}}{2}\right)\\[6pt] &= \left(y^{4}-\frac{y^{4}}{2}\right) - \left(-2y^{4}-\frac{4y^{4}}{2}\right). \end{aligned}
Agora simplificar termo a termo:
y^{4}-\frac{y^{4}}{2}=\frac{y^{4}}{2}, \qquad -2y^{4}-\frac{4y^{4}}{2}=-2y^{4}-2y^{4}=-4y^{4}.
Portanto
\int_{-2y^{2}}^{y^{2}}(y^{2}-x)\,dx=\frac{y^{4}}{2}-(-4y^{4})=\frac{y^{4}}{2}+4y^{4}=\frac{9}{2}y^{4}.]

Passo 4

Redução para uma integral imprópria em y e análise de convergência.
Substituindo o resultado do passo anterior:
\iint_{R}(y^{2}-x)\,dA=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{9}{2}y^{4}\,dy.
Esta é uma integral imprópria. Observe que a função y\mapsto \frac{9}{2}y^{4} é par e não-negativa, logo podemos estudar
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{9}{2}y^{4}\,dy =\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\frac{9}{2}y^{4}\,dy.
Calcule a integral sobre [-A,A]:
\int_{-A}^{A}\frac{9}{2}y^{4}\,dy=\frac{9}{2}\cdot 2\int_{0}^{A}y^{4}\,dy =9\int_{0}^{A}y^{4}\,dy =9\cdot\frac{A^{5}}{5}=\frac{9}{5}A^{5}.
Ao fazer A\to\infty obtemos \displaystyle \frac{9}{5}A^{5}\to\infty. Portanto a integral imprópria diverge (tende a +\infty).

Passo 5

Interpretação final e observações didáticas.
  • A região R descrita apenas pelas curvas x=y^{2} e x=-2y^{2} não é limitada em y; ao integrar primeiro em x obtemos uma função de y que cresce como y^{4}.
  • A integral sobre todo \mathbb{R} de uma função que cresce com potência y^{4} diverge; por isso a integral dupla não converge para um número finito.
  • Conclusão: a integral dupla não é convergente e seu valor é infinito.

Resposta

A integral diverge (valor +\infty).

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