(20 pontos) Calcule a integral dupla
sendo
delimitado por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é delimitado pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- A função integranda é
. - As curvas que limitam
são e . - Não há outras curvas ou retas mencionadas no enunciado.
Pergunta a responder:
- Qual é o valor da integral dupla
sobre a região descrita acima?
Passo 2
Decisão do método de integração (e por quê).
- As curvas que delimitam
estão dadas como função de . Isso torna natural integrar primeiro em (fatias verticais): para cada fixo, varia entre as duas curvas. - Precisamos identificar o intervalo de
. Para qualquer tem-se , logo varia por toda a reta real (não há outro ponto de interseção além de ). Assim a região é não limitada em (é uma região ilimitada), e a integral será uma integral imprópria em .
Portanto vamos escrever a integral na ordem
:
Passo 3
Cálculo da integral interna em
.
- Para
fixo, calcule
- Antiderivada em relação a
: (aqui é constante ao integrar em ).
Avalia-se nos limites
e
:
Agora simplificar termo a termo:
Portanto
Passo 4
Redução para uma integral imprópria em
e análise de convergência.
Substituindo o resultado do passo anterior:
Substituindo o resultado do passo anterior:
Esta é uma integral imprópria. Observe que a função
é par e não-negativa, logo podemos estudar
Calcule a integral sobre
:
Ao fazer
obtemos
. Portanto a integral imprópria diverge (tende a
).
Passo 5
Interpretação final e observações didáticas.
- A região
descrita apenas pelas curvas e não é limitada em ; ao integrar primeiro em obtemos uma função de que cresce como . - A integral sobre todo
de uma função que cresce com potência diverge; por isso a integral dupla não converge para um número finito. - Conclusão: a integral dupla não é convergente e seu valor é infinito.
Resposta
A integral diverge (valor
).