O conjunto dos valores de
para que a equação
tenha raízes reais e iguais é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o conjunto de valores de
para que a equação
tenha raízes reais e iguais.
Informações dadas:
- A equação é em
e contém o parâmetro . - Queremos os valores de
que tornam as duas raízes iguais (ou seja, uma raiz dupla).
Passo 2
Primeiro vou organizar a equação juntando os termos em
. Agrupando os termos semelhantes obtemos
Passo 3
Identifico os coeficientes da equação quadrática na forma padrão
:
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(termo constante).
Explicação rápida: em uma equação quadrática em
,
é o número multiplicando
,
é o que multiplica
e
é o termo independente. Estes três definem a forma da parábola e suas raízes.
Passo 4
Condição para raízes reais e iguais: calcular o discriminante
e exigir
.
Lembrete didático: o discriminante é
Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla (raízes iguais); se
não há raízes reais.
Também, as raízes são dadas por
logo
implica
e as duas soluções coincidem em
.
Passo 5
Calculo do discriminante para os coeficientes que temos:
Faço as expansões passo a passo:
Subtraindo:
Distribuindo o sinal e somando termos semelhantes:
Passo 6
Agora imponho
:
Fatorando
em evidência:
Portanto as soluções são
Passo 7
Verificação e observações:
- Como
, a equação é realmente quadrática para qualquer , então não há caso degenerado a tratar. - Para
a equação vira , que tem raiz dupla . - Para
a raiz dupla é ; substituindo obtém-se , confirmando a raiz única dupla.