O conjunto dos valores de k para que a equação x^{2}-3 k x+k^{2}+2 x-9 k+1=0 tenha raízes reais e iguais é:
a) \left\{0,-\frac{24}{5}\right\}
b) \left\{\frac{24}{5}\right\}
c) \{-5,24\}
d) \{0,24\}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o conjunto de valores de k para que a equação
x^{2}-3 k x+k^{2}+2 x-9 k+1=0
tenha raízes reais e iguais.
Informações dadas:
  • A equação é em x e contém o parâmetro k.
  • Queremos os valores de k que tornam as duas raízes iguais (ou seja, uma raiz dupla).

Passo 2

Primeiro vou organizar a equação juntando os termos em x. Agrupando os termos semelhantes obtemos
x^{2}+(-3k+2)\,x+(k^{2}-9k+1)=0.

Passo 3

Identifico os coeficientes da equação quadrática na forma padrão a x^{2}+b x+c=0:
  • a=1 (coeficiente de x^{2}),
  • b=-3k+2 (coeficiente de x),
  • c=k^{2}-9k+1 (termo constante).
Explicação rápida: em uma equação quadrática em x, a é o número multiplicando x^{2}, b é o que multiplica x e c é o termo independente. Estes três definem a forma da parábola e suas raízes.

Passo 4

Condição para raízes reais e iguais: calcular o discriminante \Delta e exigir \Delta=0.
Lembrete didático: o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac.
Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla (raízes iguais); se \Delta<0 não há raízes reais.
Também, as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
logo \Delta=0 implica \sqrt{\Delta}=0 e as duas soluções coincidem em x=-\dfrac{b}{2a}.

Passo 5

Calculo do discriminante para os coeficientes que temos:
\Delta = (-3k+2)^{2}-4\cdot 1\cdot(k^{2}-9k+1).
Faço as expansões passo a passo:
(-3k+2)^{2}=9k^{2}-12k+4,
4\cdot(k^{2}-9k+1)=4k^{2}-36k+4.
Subtraindo:
\Delta = (9k^{2}-12k+4)-(4k^{2}-36k+4).
Distribuindo o sinal e somando termos semelhantes:
\Delta = 9k^{2}-12k+4-4k^{2}+36k-4 = (9k^{2}-4k^{2})+(-12k+36k)+(4-4).
\Delta = 5k^{2}+24k.

Passo 6

Agora imponho \Delta=0:
5k^{2}+24k=0.
Fatorando k em evidência:
k(5k+24)=0.
Portanto as soluções são
k=0\quad\text{ou}\quad 5k+24=0\Rightarrow k=-\frac{24}{5}.

Passo 7

Verificação e observações:
  • Como a=1\neq0, a equação é realmente quadrática para qualquer k, então não há caso degenerado a tratar.
  • Para k=0 a equação vira x^{2}+2x+1=0, que tem raiz dupla x=-1.
  • Para k=-\dfrac{24}{5} a raiz dupla é x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{3k-2}{2}; substituindo k=-\dfrac{24}{5} obtém-se x=-\dfrac{41}{5}, confirmando a raiz única dupla.

Resposta

\left\{0,-\dfrac{24}{5}\right\}

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