Se x \cdot(1-x)=\frac{1}{4}, então:
a) \quad x=\frac{1}{2}
b) x=1
c) \quad x=\frac{1}{4}
d) x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x\cdot(1-x)=\frac{1}{4}
e pede qual dos valores listados (a) x=\frac{1}{2}, (b) x=1, (c) x=\frac{1}{4}, (d) x=0 satisfaz essa equação.
Informações relevantes: a expressão é um produto envolvendo x e um termo linear em x, e o resultado é \tfrac{1}{4}. A tarefa é resolver a equação e comparar com as opções.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir e reorganizar a equação para forma quadrática padrão. Começando de
x(1-x)=\frac{1}{4},
multiplica-se:
x - x^2 = \frac{1}{4}.
Agora colocamos todos os termos no mesmo lado, subtraindo \tfrac{1}{4} dos dois lados:
x - x^2 - \frac{1}{4} = 0.
É mais comum escrever a forma padrão como ax^2+bx+c=0, então multiplicamos por -1 (ou reescrevemos) para obter
x^2 - x + \frac{1}{4} = 0.

Passo 3

Vou resolver a equação quadrática usando o método de completar o quadrado — é bem direto aqui e evita frações complicadas. Ideia do completar o quadrado: transformar uma expressão do tipo x^2 + bx em algo como (x + b/2)^2 menos um ajuste. Em termos gerais:
x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2.
No nosso caso, a equação é
x^2 - x + \frac{1}{4} = 0,
onde o coeficiente linear é b=-1.

Passo 4

Aplicando completar o quadrado: escrevemos x^2 - x como \left(x - \tfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^2. Então
x^2 - x + \frac{1}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}.
Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}, os dois termos se cancelam:
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2.
Portanto a equação vira
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 0.

Passo 5

Se \left(x - \tfrac{1}{2}\right)^2 = 0, então necessariamente
x - \frac{1}{2} = 0,
portanto
x = \frac{1}{2}.
Comentário rápido de verificação: usando a fórmula quadrática para \,ax^2+bx+c=0 com a=1, b=-1, c=\tfrac{1}{4}, o discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot\frac{1}{4} = 1 - 1 = 0,
o que confirma uma raiz dupla x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2}. Então o resultado está coerente.

Resposta

a) x=\frac{1}{2}

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