( 20 pontos) Calcule a transformada de Laplace do sinal x(t)=3 e^-2 t-2 e^-t. Faça um esboço da região de convergência e o mapa de pólos e zeros.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de x(t)=3e^-2t-2e^-t, bem como o esboço da região de convergência (ROC) e o mapa de polos e zeros. Vamos usar a definição de transformada de Laplace para sinais causais
X(s)=integral0^inftyx(t)e^-st,dt
e também o resultado padrão
Le^-at=1s+a, Re(s)>-a

Passo 2

Aplicando linearidade e o resultado padrão a cada termo de x(t):
para 3e^-2t temos
L3e^-2t =3cdot1s+2 =3s+2, Re(s)>-2,
e para -2e^-t temos
L-2e^-t =-2cdot1s+1 =-2s+1, Re(s)>-1
Portanto, somando os dois resultados,
X(s) =3s+2-2s+1

Passo 3

A região de convergência de X(s) é a interseção das condições individuais:
Re(s)>-2 e Re(s)>-1. A interseção é
ROC: Re(s)>-1

Passo 4

Para identificar o zero, colocamos X(s) sobre um denominador comum:
X(s) =3(s+1)-2(s+2)(s+2)(s+1) =3s+3-2s-4(s+1)(s+2) =s-1(s+1)(s+2)
A partir daí vemos que há um zero em s=1 e polos em s=-1 e s=-2.

Passo 5

Esboço da ROC e mapa de polos e zeros no plano s:
  • Marque a região Re(s)>-1 (à direita da reta vertical Re(s)=-1).
  • Coloque polos ( times) em s=-1 e s=-2.
  • Coloque zero ( circ) em s=1.

Resposta

X(s)=3s+2-2s+1 =s-1(s+1)(s+2), ROC: Re(s)>-1,
pólos em s=-1,-2 e zero em s=1.

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