(4.34-Oppenheim) Um sistema LIT causal e estável S tem resposta em frequência
H(j omega)=j omega+46-omega^2+5 j omega
(a) Determine uma equação diferencial relacionando a entrada x(t) e a saída y(t) de S.
(b) Determine a resposta ao impulso h(t) de S.
(c) Qual é a saída de S quando a entrada é x(t)=e^-4 t u(t)-t e^-4 t u(t) ?

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI causal e estável com
H(jomega)=jomega+46-omega^2+5jomega
e pede:
a) a equação diferencial que liga x(t) e y(t),
b) a resposta ao impulso h(t),
c) a saída para
;x(t)=e^-4tu(t)-t,e^-4tu(t).
Vamos usar a transformada de Laplace com s=jomega.

Passo 2

Substituindo jomegamapsto s temos
H(s)=s+46-(-s^2)+5s=s+4s^2+5s+6
e s^2+5s+6=(s+2)(s+3).

Passo 3

A relação em s-domínio é
(s^2+5s+6),Y(s)=(s+4),X(s)
Voltando ao tempo, usando s^2Y(s)mapsto y''(t), sY(s)mapsto y'(t) e sX(s)mapsto x'(t), dá
y''(t)+5y'(t)+6y(t)=x'(t)+4x(t)

Passo 4

Para achar h(t), fazemos frações parciais em
H(s)=s+4(s+2)(s+3)=As+2+Bs+3
Resolvendo A+B=1 e 3A+2B=4 obtemos A=2, B=-1.
Logo
H(s)=2s+2-1s+3
e
h(t)=l(2e^-2t-e^-3tr),u(t)

Passo 5

Para x(t)=e^-4tu(t)-t,e^-4tu(t)
X(s)=1s+4-1(s+4)^2
Então
Y(s)=H(s),X(s) =s+4(s+2)(s+3)l(1s+4-1(s+4)^2r) =1(s+2)(s+3)-1(s+2)(s+3)(s+4)
Na segunda fração:
1(s+2)(s+3)(s+4) =1/2s+2-1s+3+1/2s+4
Logo
Y(s)=l(1s+2-1s+3r) -l(1/2s+2-1s+3+1/2s+4r),
que ao inverter dá
y(t)=12,e^-2t-12,e^-4t u(t)

Resposta

a) ;y''(t)+5y'(t)+6y(t)=x'(t)+4x(t).
b) ;h(t)=l(2e^-2t-e^-3tr),u(t).
c) ;y(t)=tfrac12l(e^-2t-e^-4tr),u(t).

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