(20 pontos) Resolva a EDO de segunda ordem via transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO de segunda ordem
d^2y(t)dt^2 +3dy(t)dt+2y(t) = sin(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
usando transformada de Laplace. Precisamos aplicar a transformada em ambos os lados, usar as condições iniciais para obter uma equação algébrica em ,Y(s)=Ly(t), resolver para Y(s) e então obter y(t) pela transformada inversa.

Passo 2

Aplicando L em cada termo usamos:
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0)=s^2Y(s)-1,
Ly' = sY(s) - y(0)=sY(s),
Ly = Y(s),
Lsin(t) = 1s^2+1
Logo a transformada da EDO é
l(s^2Y(s)-1r) +3l(sY(s)r)+2Y(s) = 1s^2+1

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando-o:
(s^2+3s+2),Y(s)-1 = 1s^2+1 Longrightarrow Y(s)=1+1s^2+1s^2+3s+2 =s^2+2(s^2+1)(s^2+3s+2)
Observando s^2+3s+2=(s+1)(s+2), temos
Y(s)=s^2+2(s^2+1)(s+1)(s+2)

Passo 4

Fazemos frações parciais no formato
s^2+2(s^2+1)(s+1)(s+2) = As+1 + Bs+2 + Cs + Ds^2+1
Calculando A em s=-1 e B em s=-2 e ajustando C,D por comparação de coeficientes, obtemos
A=32, B=-65, C=-310, D=110
Portanto
Y(s) = 3/2s+1 ;-;6/5s+2 ;-;3/10,ss^2+1 ;+;1/10s^2+1

Passo 5

Usando transformadas inversas
L^-1tfrac1s+a=e^-at,
L^-1tfracss^2+1=cos(t),
L^-1tfrac1s^2+1=sin(t),
obtemos
y(t) = 32e^-t ;-;65e^-2t ;-;310cos(t) ;+;110sin(t)

Resposta

y(t) = 32e^-t - 65e^-2t - 310cos(t) + 110sin(t)

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