( 20 pontos) Considere a função,
f(t)= \begin{cases}(t-2)^{2}, & \text { se } 0 \leq t<2 \\\\ 2 t, & \text { se } t \geq 2\end{cases}
(a) Escreva esta função usando a função degrau unitário. Represente graficamente.
(b) Calcule sua transformada usando a tabela e as propriedades.

Passo 1

O enunciado dá a função de variável real t\) \[f(t)= \begin{cases} (t-2)^{2},&0\le t<2,\\\\ 2t,&t\ge2, \end{cases}
e pede em (a) escrever em termos da função degrau unitário u(t)\] e desenhar o gráfico, e em (b) calcular a transformada de Laplace \(\mathcal{L}\{f(t)\}(s) usando propriedades e tabela. Vamos usar a definição de u(t) e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Para escrever f(t) com degrau, note que de t=0 até t=2 vale (t-2)^{2} e a partir de t=2 vale 2t. Logo,
f(t)=(t-2)^{2}\bigl[u(t)-u(t-2)\bigr]+2t\,u(t-2).
Aqui u(t) liga o trecho (t-2)^{2} em t\ge0 e u(t-2) desliga esse trecho em t\ge2, substituindo-o por 2t.

Passo 3

O gráfico de f(t) é:
para 0\le t<2, uma parábola (t-2)^{2} que parte de f(0)=4 e chega a f(2^-)=0;
em t=2 há salto para f(2^+)=4;
para t\ge2, uma reta f(t)=2t de inclinação 2.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace e usando linearidade e deslocamento em t:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\bigl\{(t-2)^{2}u(t)\bigr\} -\mathcal{L}\bigl\{(t-2)^{2}u(t-2)\bigr\} +\mathcal{L}\bigl\{2t\,u(t-2)\bigr\}.
Pela tabela,
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}},\quad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
Além disso, \mathcal{L}\{(t-2)^{2}u(t-2)\}=e^{-2s}\mathcal{L}\{t^{2}\} =e^{-2s}\frac{2}{s^{3}} e
\mathcal{L}\{2t\,u(t-2)\}=e^{-2s}\mathcal{L}\{2(t+2)\} =e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr).
Para \mathcal{L}\{(t-2)^{2}u(t)\}=\mathcal{L}\{t^{2}-4t+4\} temos
\frac{2}{s^{3}}-\frac{4}{s^{2}}+\frac{4}{s}.

Passo 5

Somando os termos,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\Bigl(\frac{2}{s^{3}}-\frac{4}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr) -e^{-2s}\frac{2}{s^{3}} +e^{-2s}\Bigl(\frac{2}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr).
Reagrupando,
\boxed{ \mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{2}{s^{3}}-\frac{4}{s^{2}}+\frac{4}{s} +e^{-2s}\Bigl(-\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr). }

Resposta

(a) \displaystyle f(t)=(t-2)^{2}\bigl[u(t)-u(t-2)\bigr]+2t\,u(t-2), com gráfico parabólico em [0,2) e reta de inclinação 2 em [2,\infty) (salto de 0 para 4 em t=2).
(b) \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{2}{s^{3}}-\frac{4}{s^{2}}+\frac{4}{s} +e^{-2s}\Bigl(-\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr).

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