y^{\prime \prime}+4 y=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq t<\pi, \\\\ 0 & \pi<t<\infty\end{array} \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de segunda ordem forçada
y'' + 4y = \begin{cases} 1, & 0 \le t < \pi,\\\\ 0, & \pi < t < \infty, \end{cases}
com condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
Vamos dividir o problema em dois intervalos: em 0\le t<\pi resolvemos a parte não homogênea e em \pi<t<\infty a parte homogênea, fazendo depois o “casamento” em t=\pi usando continuidade de y e y'.

Passo 2

Para 0\le t<\pi temos
y'' + 4y = 1.
A solução geral é soma da homogênea y_h e de uma particular y_p.
A homogênea satisfaz
y_h'' + 4y_h = 0,\quad\text{com solução }y_h = C\cos(2t)+D\sin(2t).çã
Como o lado direito é constante, escolhemos y_p=A. Substituindo em y''+4y=1 4A=1, logo
y_p = \tfrac14.
Assim
y(t) = \tfrac14 + C\cos(2t) + D\sin(2t).
Usando y(0)=1 e y'(0)=0:
y(0)=\tfrac14 + C = 1 \implies C=\tfrac34,
y'(t)=-2C\sin(2t)+2D\cos(2t)\implies y'(0)=2D=0\implies D=0.
Portanto, para 0\le t<\pi
y_1(t) = \tfrac14 + \tfrac34\cos(2t).

Passo 3

Calculamos os valores em t=\pi para usar como condições iniciais no próximo intervalo:
y_1(\pi) = \tfrac14 + \tfrac34\cos(2\pi) = \tfrac14 + \tfrac34\cdot1 = 1,
y_1'(\pi) = -2\cdot\tfrac34\sin(2\pi) = 0.
Logo em t=\pi temos
y(\pi)=1,\quad y'(\pi)=0.

Passo 4

Para \pi<t<\infty a equação fica homogênea:
y'' + 4y = 0.
A solução geral é
y_2(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).
Impondo y_2(\pi)=1 e y_2'(\pi)=0:
y_2(\pi)=A\cos(2\pi)+B\sin(2\pi)=A=1,
y_2'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\implies y_2'(\pi)=2B=0\implies B=0.
Logo, para \pi<t<\infty
y_2(t) = \cos(2t).

Passo 5

Reunindo as duas soluções, a solução em todo o intervalo é
y(t)= \begin{cases} \tfrac14 + \tfrac34\cos(2t), & 0 \le t < \pi,\\\ \cos(2t), & \pi < t < \infty. \end{cases}

Resposta

y(t)= \begin{cases} \tfrac14 + \tfrac34\cos(2t), & 0 \le t < \pi,\\\ \cos(2t), & \pi < t < \infty. \end{cases}

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