Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0;
y(0)=1,
y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' - 4 y' + 4 y = 0
com condições y(0) = 1 e y'(0) = 1.
O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace para converter a EDO em uma equação algébrica em Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}, resolvê-la e então inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L}\{\cdot\} em cada termo da EDO usando as fórmulas
\mathcal{L}\{y''\} = s^{2}Y(s) - s y(0) - y'(0),
\mathcal{L}\{y'\} = s Y(s) - y(0),
\mathcal{L}\{y\} = Y(s).
Como y(0) = 1 e y'(0) = 1, temos
\bigl[s^{2}Y(s)-s-1\bigr] - 4\bigl[s Y(s)-1\bigr] + 4 Y(s) = 0.

Passo 3

Vamos agrupar os termos em Y(s) e os termos constantes:
s^{2}Y(s)-s-1 \;-\;4s\,Y(s)+4 \;+\;4Y(s) \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(s^{2}-4s+4\bigr)Y(s)\;+\;(-s-1+4)\;=\;0.
Logo
(s-2)^{2}Y(s)-s+3=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s-3}{(s-2)^{2}}.

Passo 4

Decompondo em frações simples:
\frac{s-3}{(s-2)^{2}} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{(s-2)^{2}}.
Multiplicando por (s-2)^{2}
s-3=A(s-2)+B \;\Longrightarrow\; A=1,\;-2A+B=-3\;\Longrightarrow\;B=-1.
Então
Y(s)=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{(s-2)^{2}}.

Passo 5

Invertemos termo a termo usando
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)\} = e^{2t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)^{2}\} = t e^{2t}.
Logo
y(t) = e^{2t} - t e^{2t} = (1-t) e^{2t}.

Resposta

y(t)=(1-t)e^{2t}.

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