( 20 pontos) Considere um poço de potencial unidimensional infinito, tal que
onde é uma constante.
(a) Você poderia escolher ? Que efeito isto teria no valor esperado de uma variável dinâmica?
(b) Obtenha as energias e funções de onda normalizadas.
(c) Considere agora que o sistema possa ser aproximado pelos dois primeiros estados, formando assim um qubit (bit quântico). No instante , o sistema se encontra numa superposição deste dois estados, . Obtenha e a densidade de probabilidade para .
(d) Qual é a probabilidade de que a medição de energia produza o valor [energia do estado fundamental obtida no item (b)] em ? Esta probabilidade permanecerá constante? Explique ou demonstre sua resposta.
(e) Calcule para qualquer instante, referente ao item (c).
(f) O que seria necessário fazer experimentalmente para se comprovar o resultado teórico obtido no item (e)?
Passo 1
O enunciado descreve um poço de potencial unidimensional de largura
e pede (a) discutir a escolha de e , (d) calcular a probabilidade de medir em e dizer se ela varia, (e) calcular para qualquer , e (f) discutir como comprovar experimentalmente o resultado de (e). Vamos usar a equação de Schrödinger estacionária e a superposição de estados em mecânica quântica.
Passo 2
(a) Em mecânica quântica o valor zero da energia é arbitrário: se definirmos , basta subtrair uma constante do hamiltoniano, o que adiciona à evolução de fase global um fator . Isso não afeta valores esperados de qualquer observável , pois fases globais se cancelam em . Apenas seria deslocado por .
Passo 3
(b) Dentro do poço tomamos . As autofunções são
e os autovalores de energia
Passo 4
(c) A superposição inicial é . Normalizando,
No instante ,
A densidade de probabilidade fica
Passo 5
(d) A probabilidade de medir em é
Como o hamiltoniano é independente do tempo, os coeficientes da expansão em autofunções adquirem apenas fases, logo |cn(t)|^2 permanece constante. Assim P(E1) não varia com t.
(f) Para testar isso experimentalmente é preciso preparar um grande número de sistemas idênticos no estado inicial Psi(x,0), deixá-los evoluir por um tempo t e medir a posição em cada cópia. A média aritmética das posições obtidas num mesmo t aproxima lang<= xrang<= previsto, e repetindo para vários t observa-se a oscilação teórica.
Resposta
(a) Sim, podemos escolher V0=0; isso apenas desloca a energia global e não altera valores esperados de observáveis, só desloca lang<= Hrang<=.
(b) phin(x)=raiz2/L,sin(npi x/L), En=V0+hbar^2pi^2n^2/(2mL^2), com L=a/2.
(c) Psi(x,t)=tfrac1raiz2[phi1e^-iE1t/hbar-phi2e^-iE2t/hbar], |Psi|^2=tfrac12[phi1^2+phi2^2-2phi1phi2cos((E2-E1)t/hbar)].
(d) P(E1)=1/2, constante no tempo.
(e) lang<= xrang<==a4+4a9pi^2cos!l((E2-E1)t/hbarr)
(f) Preparar muitos sistemas idênticos, medir a posição em cada um no mesmo t e calcular a média para comparar com lang<= xrang<=.