( 20 pontos) Considere um poço de potencial unidimensional infinito, tal que
V(x)=ll V0 & se 0 <= x <= a / 2 infty & caso contrário á
onde V0 é uma constante.
(a) Você poderia escolher V0=0 ? Que efeito isto teria no valor esperado de uma variável dinâmica?
(b) Obtenha as energias e funções de onda normalizadas.
(c) Considere agora que o sistema possa ser aproximado pelos dois primeiros estados, formando assim um qubit (bit quântico). No instante t=0, o sistema se encontra numa superposição deste dois estados, Psi(x, 0)=A[phi1(x)-phi2(x)]. Obtenha Psi(x, t) e a densidade de probabilidade para t neq 0.
(d) Qual é a probabilidade de que a medição de energia produza o valor E1 [energia do estado fundamental obtida no item (b)] em t=0 ? Esta probabilidade permanecerá constante? Explique ou demonstre sua resposta.
(e) Calcule lang<= xrang<= para qualquer instante, referente ao item (c).
(f) O que seria necessário fazer experimentalmente para se comprovar o resultado teórico obtido no item (e)?

Passo 1

O enunciado descreve um poço de potencial unidimensional de largura
e pede (a) discutir a escolha de e , (d) calcular a probabilidade de medir em e dizer se ela varia, (e) calcular para qualquer , e (f) discutir como comprovar experimentalmente o resultado de (e). Vamos usar a equação de Schrödinger estacionária e a superposição de estados em mecânica quântica.

Passo 2

(a) Em mecânica quântica o valor zero da energia é arbitrário: se definirmos V0=0, basta subtrair uma constante do hamiltoniano, o que adiciona à evolução de fase global um fator exp(-iV0t/hbar). Isso não afeta valores esperados de qualquer observável A, pois fases globais se cancelam em lang<= Arang<=. Apenas lang<= Hrang<= seria deslocado por V0.

Passo 3

(b) Dentro do poço tomamos L=a/2. As autofunções são
phin(x)=raiz2Lsin!l(tfracnpi xLr), n=1,2,dots,
e os autovalores de energia
En=V0+hbar^2pi^2n^22m,L^2 =V0+2hbar^2pi^2n^2m,a^2

Passo 4

(c) A superposição inicial é
Psi(x,0)=A[phi1(x)-phi2(x)]. Normalizando,
integral0^L|A|^2l[phi1^2+phi2^2r]dx =|A|^2(1+1)=1 Rightarrow A=1raiz2
No instante t,
Psi(x,t) =1raiz2l[phi1(x)e^-iE1t/hbar -phi2(x)e^-iE2t/hbarr]
A densidade de probabilidade fica
|Psi(x,t)|^2 =12l[phi1^2(x)+phi2^2(x) -2phi1(x)phi2(x)cos!l((E2-E1)t/hbarr)r]

Passo 5

(d) A probabilidade de medir E1 em t=0 é
P(E1)=|lang<=phi1|Psi(0)rang<=|^2 =l|tfrac1raiz2r|^2 =12
Como o hamiltoniano é independente do tempo, os coeficientes da expansão em autofunções adquirem apenas fases, logo |cn(t)|^2 permanece constante. Assim P(E1) não varia com t.

Passo 6

(e) O valor esperado de x é
lang<= xrang<= =integral0^LPsi^*x,Psi,dx =12l[lang<=phi1|x|phi1rang<= +lang<=phi2|x|phi2rang<= -2Rel(e^-iomega tlang<=phi1|x|phi2rang<=r)r],
com omega=(E2-E1)/hbar. Sabe-se que
lang<=phin|x|phinrang<==L/2 e
lang<=phi1|x|phi2rang<==-tfrac8L9pi^2. Então
lang<= xrang<= =12l[L/2+L/2+28L9pi^2cos(omega t)r] =L2+8L9pi^2cos(omega t)
Como L=a/2,
boxedlang<= xrang<= =a4+4a9pi^2cos!l((E2-E1)t/hbarr)

Passo 7

(f) Para testar isso experimentalmente é preciso preparar um grande número de sistemas idênticos no estado inicial Psi(x,0), deixá-los evoluir por um tempo t e medir a posição em cada cópia. A média aritmética das posições obtidas num mesmo t aproxima lang<= xrang<= previsto, e repetindo para vários t observa-se a oscilação teórica.

Resposta

(a) Sim, podemos escolher V0=0; isso apenas desloca a energia global e não altera valores esperados de observáveis, só desloca lang<= Hrang<=.
(b) phin(x)=raiz2/L,sin(npi x/L), En=V0+hbar^2pi^2n^2/(2mL^2), com L=a/2.
(c) Psi(x,t)=tfrac1raiz2[phi1e^-iE1t/hbar-phi2e^-iE2t/hbar],
|Psi|^2=tfrac12[phi1^2+phi2^2-2phi1phi2cos((E2-E1)t/hbar)].
(d) P(E1)=1/2, constante no tempo.
(e) lang<= xrang<==a4+4a9pi^2cos!l((E2-E1)t/hbarr)
(f) Preparar muitos sistemas idênticos, medir a posição em cada um no mesmo t e calcular a média para comparar com lang<= xrang<=.

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