(10 pontos) Usando a equação de Schrödinger dependente do tempo mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada temporal do valor esperado da posição,
usando a equação de Schrödinger dependente do tempo. Vamos precisar do resultado geral
e da forma explícita da equação de Schrödinger para
e
.
Passo 2
Escrevendo
vamos substituir
e
pelas expressões da equação de Schrödinger.
Passo 3
A equação de Schrödinger é
cuja conjugada complexa é
Isolando as derivadas temporais:
Substituindo em
, obtemos termos de potencial que se cancelam, restando apenas os termos cinéticos:
Passo 4
Para simplificar esses dois integrandos, aplicamos integração por partes em cada um, usando
e
em
. O resultado combinado é
Substituindo de volta, obtemos