(10 pontos) Usando a equação de Schrödinger dependente do tempo mostre que
dlang<= xrang<=d t=-i hbarm integral Psi^* partial Psipartial x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada temporal do valor esperado da posição,
lang<= xrang<==integral Psi^*(x,t),x,Psi(x,t),dx,
usando a equação de Schrödinger dependente do tempo. Vamos precisar do resultado geral
ddtlang<= Arang<= =integral partial Psi^*partial tAPsi,dx +integral Psi^*Apartial Psipartial t,dx
e da forma explícita da equação de Schrödinger para Psi e Psi^*.

Passo 2

Escrevendo
dlang<= xrang<=dt =integral partial Psi^*partial t,x,Psi,dx +integral Psi^*,x,partial Psipartial t,dx,
vamos substituir partialPsi/partial t e partialPsi^*/partial t pelas expressões da equação de Schrödinger.

Passo 3

A equação de Schrödinger é
ihbarpartial Psipartial t =-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2+V(x)Psi,
cuja conjugada complexa é
-ihbarpartial Psi^*partial t =-hbar^22mpartial^2Psi^*partial x^2+V(x)Psi^*
Isolando as derivadas temporais:
partial Psipartial t =-ihbar2mpartial^2Psipartial x^2 +ihbarV(x)Psi, partial Psi^*partial t =ihbar2mpartial^2Psi^*partial x^2 -ihbarV(x)Psi^*
Substituindo em dlang<= xrang<=dt, obtemos termos de potencial que se cancelam, restando apenas os termos cinéticos:
dlang<= xrang<=dt =ihbar2mintegral partial^2Psi^*partial x^2,x,Psi,dx -ihbar2mintegral Psi^*,x,partial^2Psipartial x^2,dx

Passo 4

Para simplificar esses dois integrandos, aplicamos integração por partes em cada um, usando
Psito0 e partialPsi/partial xto0 em xtopminfty. O resultado combinado é
integral partial^2Psi^*partial x^2,x,Psi,dx -integral Psi^*,x,partial^2Psipartial x^2,dx =-2integral Psi^*,partialPsipartial x,dx
Substituindo de volta, obtemos
dlang<= xrang<=dt =ihbar2ml(-2r)integral Psi^*,partialPsipartial x,dx =-ihbarmintegral Psi^*,partialPsipartial x,dx

Resposta

dlang<= xrang<=dt =-ihbarmintegral Psi^*,partial Psipartial x,dx

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