. (20 pontos) Dados os vetores V=(-3, \sqrt{5}, a) e T=(b, 1,-2), calcule os possíveis valores reais de a e b, sabendo que V e T são ortogonais e \|V\|=\sqrt{34} (DICA: 2 respostas).

Passo 1

O enunciado dá os vetores
V = (-3,\sqrt{5},a)
e
T = (b,1,-2)
e pede os valores de a e b de modo que V e T sejam ortogonais e \|V\| = \sqrt{34}. Para resolver isso vamos usar duas propriedades:
  1. Ortogonalidade: o produto escalar V \cdot T = 0.
  2. Norma de V: \|V\|^2 = (-3)^2 + (\sqrt{5})^2 + a^2.

Passo 2

Aplicando a condição da norma, temos
\|V\|^2 = (-3)^2 + (\sqrt{5})^2 + a^2 = 9 + 5 + a^2 = 14 + a^2.
Como \|V\| = \sqrt{34}, segue que
14 + a^2 = 34 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 20 \quad\Longrightarrow\quad a = \pm 2\sqrt{5}.

Passo 3

Agora impomos a ortogonalidade V \cdot T = 0:
V \cdot T = (-3)\,b + (\sqrt{5})\cdot 1 + a\cdot(-2) = -3b + \sqrt{5} - 2a = 0.
Desse modo,
-3b + \sqrt{5} - 2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{\sqrt{5} - 2a}{3}.

Passo 4

Substituindo os dois valores de a:
  1. Para a = 2\sqrt{5}:
b = \frac{\sqrt{5} - 2\,(2\sqrt{5})}{3} = \frac{\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{3} = \frac{-3\sqrt{5}}{3} = -\sqrt{5}.
  1. Para a = -2\sqrt{5}:
b = \frac{\sqrt{5} - 2\,(-2\sqrt{5})}{3} = \frac{\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{3} = \frac{5\sqrt{5}}{3}.

Resposta

Os pares (a,b) que satisfazem as condições são:
(a,b) = \bigl(2\sqrt{5},\,-\sqrt{5}\bigr) \quad\text{ou}\quad (a,b) = \Bigl(-2\sqrt{5},\,\tfrac{5\sqrt{5}}{3}\Bigr).

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