Considere os vetores do espaço T=(-1, a,-1) e V=(0,-2 a, 3), a \in \mathbb{R}. Calcule os possíveis valores para a \in \mathbb{R}, sabendo que a área do paralelogramo determinado pelos vetores T e V vale \sqrt{54} (DICA: 2 respostas).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
T = (-1,\;a,\;-1), \qquad V = (0,\;-2a,\;3),
e pede os valores de a tais que a área do paralelogramo formado por T e V seja \sqrt{54}. Lembre que essa área é dada pelo módulo do produto vetorial \|T\times V\|.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial por definição de determinante 3\times 3:
T \times V = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & a & -1 \\\\ 0 & -2a & 3 \end{vmatrix} = \bigl(a,\;3,\;2a\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o quadrado da norma desse vetor:
\|T\times V\|^2 = a^2 + 3^2 + (2a)^2 = a^2 + 9 + 4a^2 = 5a^2 + 9.

Passo 4

Queremos \|T\times V\| = \sqrt{54}. Elevando ao quadrado:
5a^2 + 9 = 54 \quad\Longrightarrow\quad 5a^2 = 45 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad a = 3 \;\text{ou}\; a = -3.

Resposta

a = 3 ou a = -3

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