. (20 pontos) Considere os vetores U=(0,-3,0), V=(-2,1,-3) e W do espaço. Sabendo que W é paralelo ao vetor T=(1,-2,2) e que o valor do volume do paralelepípedo determinado pelos vetores U, V e W é 2 , encontre o vetor W (Dica: 2 respostas).

Passo 1

O enunciado dá os vetores U=(0,-3,0), V=(-2,1,-3) e pede achar W paralelo a T=(1,-2,2) tal que o volume do paralelepípedo determinado por U,V,W valha 2. Para isso, vamos usar que o volume é dado por \bigl|U\cdot(V\times W)\bigr|.

Passo 2

Como W é paralelo a T, existe \alpha tal que
W=\alpha\,T.
Logo
U\cdot(V\times W) =U\cdot\bigl(V\times(\alpha T)\bigr) =\alpha\,(U\cdot(V\times T)),
e queremos
\bigl|\alpha\,(U\cdot(V\times T))\bigr|=2.

Passo 3

Calculemos V\times T:
V\times T =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -2 & 1 & -3\\\\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} =(-4,\,1,\,3).

Passo 4

Agora o produto escalar
U\cdot(V\times T) =(0,-3,0)\cdot(-4,1,3) =0\cdot(-4)+(-3)\cdot1+0\cdot3 =-3.

Passo 5

Substituindo, temos
\bigl|U\cdot(V\times W)\bigr| =\bigl|\alpha(-3)\bigr| =3\,|\alpha| \stackrel!=2 \quad\Longrightarrow\quad |\alpha|=\frac{2}{3}.

Passo 6

Portanto, as duas soluções são
W =\frac{2}{3}(1,-2,2) =\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr) \quad\text{ou}\quad W =-\frac{2}{3}(1,-2,2) =\Bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3}\Bigr).

Resposta

W\in\Bigl\{\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr),\;\bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr)\Bigr\}.

Exercícios relacionados