(20.0 Pontos) Identifique o lugar geométrico e o seu centro descrita pela equação 150 x-128 y+25 x^{2}+16 y^{2}=1119

Passo 1

O enunciado fornece a equação
150x-128y+25x^{2}+16y^{2}=1119
e pede duas coisas: identificar o lugar geométrico descrito por essa equação e informar o centro desse lugar geométrico. As informações relevantes dadas são os coeficientes dos termos em x^{2}, y^{2}, x, y e a constante do lado direito.

Passo 2

Primeiro passo prático: agrupar os termos em x e em y para completar quadrados. Reescrevendo a equação agrupada:
25x^{2}+150x+16y^{2}-128y=1119.
Agora fatoramos os coeficientes dos quadrados para facilitar a completagem:
25\bigl(x^{2}+6x\bigr)+16\bigl(y^{2}-8y\bigr)=1119.
Explicação didática sobre completar o quadrado (como fazer na prova): para transformar x^{2}+6x em um quadrado perfeito da forma (x+h)^{2}, nota-se que
(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9.
Logo x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9. De modo análogo,
(y-4)^{2}=y^{2}-8y+16,
então y^{2}-8y=(y-4)^{2}-16. Sempre verifique: expandindo o quadrado perfeito você recupera os termos lineares e adiciona uma constante que precisa ser compensada.

Passo 3

Aplicando as expressões obtidas no passo anterior:
25\bigl((x+3)^{2}-9\bigr)+16\bigl((y-4)^{2}-16\bigr)=1119.
Desenvolvendo os termos constantes:
25(x+3)^{2}-225+16(y-4)^{2}-256=1119.
Isolando os quadrados perfeitos no lado esquerdo e somando as constantes ao lado direito:
25(x+3)^{2}+16(y-4)^{2}=1119+225+256.
Calcule a soma do lado direito (faça isso passo a passo na prova):
1119+225=1344,\qquad 1344+256=1600.
Portanto
25(x+3)^{2}+16(y-4)^{2}=1600.

Passo 4

Colocar na forma padrão dividindo ambos os lados por 1600:
\frac{(x+3)^{2}}{1600/25}+\frac{(y-4)^{2}}{1600/16}=1.
Calcule os denominadores:
\frac{1600}{25}=64,\qquad \frac{1600}{16}=100.
Assim obtemos a forma canônica
\frac{(x+3)^{2}}{64}+\frac{(y-4)^{2}}{100}=1.
Interpretação e classificação (como justificar na prova): trata-se de uma elipse porque temos soma de dois quadrados com coeficientes positivos e o lado direito igual a 1. A forma \dfrac{(x-x_{0})^{2}}{b^{2}}+\dfrac{(y-y_{0})^{2}}{a^{2}}=1 representa uma elipse centrada em (x_{0},y_{0}). Aqui os quadrados estão em (x+3) e (y-4), logo o centro é (-3,4).
Complemento prático (útil na prova): os semi-eixos são \sqrt{64}=8 na direção x e \sqrt{100}=10 na direção y; como 10>8, o eixo maior da elipse é vertical (paralelo ao eixo y).

Passo 5

Resumo do método (dica para a prova):
  • Agrupe termos em x e em y.
  • Fatore os coeficientes dos termos quadráticos para completar o quadrado dentro de cada grupo.
  • Complete os quadrados lembrando que (x+h)^{2}=x^{2}+2hx+h^{2}.
  • Compense as constantes que surgirem e leve-as para o outro lado.
  • Divida por constante final para obter a forma canônica e identifique centro, eixos e tipo da cônica.
Força: siga esses passos na prova e você resolve qualquer cônica sem mistério. Vamos lá — consegue!

Resposta

Elipse dada por \dfrac{(x+3)^{2}}{64}+\dfrac{(y-4)^{2}}{100}=1
Centro (-3,4)

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