(20.0 Pontos) Identifique o lugar geométrico e o seu centro descrita pela equação
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede duas coisas: identificar o lugar geométrico descrito por essa equação e informar o centro desse lugar geométrico. As informações relevantes dadas são os coeficientes dos termos em
,
,
,
e a constante do lado direito.
Passo 2
Primeiro passo prático: agrupar os termos em
e em
para completar quadrados. Reescrevendo a equação agrupada:
Agora fatoramos os coeficientes dos quadrados para facilitar a completagem:
Explicação didática sobre completar o quadrado (como fazer na prova): para transformar
em um quadrado perfeito da forma
, nota-se que
Logo
. De modo análogo,
então
. Sempre verifique: expandindo o quadrado perfeito você recupera os termos lineares e adiciona uma constante que precisa ser compensada.
Passo 3
Aplicando as expressões obtidas no passo anterior:
Desenvolvendo os termos constantes:
Isolando os quadrados perfeitos no lado esquerdo e somando as constantes ao lado direito:
Calcule a soma do lado direito (faça isso passo a passo na prova):
Portanto
Passo 4
Colocar na forma padrão dividindo ambos os lados por
:
Calcule os denominadores:
Assim obtemos a forma canônica
Interpretação e classificação (como justificar na prova): trata-se de uma elipse porque temos soma de dois quadrados com coeficientes positivos e o lado direito igual a
. A forma
representa uma elipse centrada em
. Aqui os quadrados estão em
e
, logo o centro é
.
Complemento prático (útil na prova): os semi-eixos são
na direção
e
na direção
; como
, o eixo maior da elipse é vertical (paralelo ao eixo
).
Passo 5
Resumo do método (dica para a prova):
- Agrupe termos em
e em . - Fatore os coeficientes dos termos quadráticos para completar o quadrado dentro de cada grupo.
- Complete os quadrados lembrando que
. - Compense as constantes que surgirem e leve-as para o outro lado.
- Divida por constante final para obter a forma canônica e identifique centro, eixos e tipo da cônica.
Força: siga esses passos na prova e você resolve qualquer cônica sem mistério. Vamos lá — consegue!
Resposta
Elipse dada por
Centro
Centro