e pede para determinar a matriz P “de autovectores” associada a A.
Informações / pedidos explícitos:
Informação dada: a matriz A (matriz 2\times2).
Pedido: encontrar a matriz P cujas colunas são autovectores de A.]
Passo 2
O que significa construir P? Vou explicar passo a passo.
Um autovetor v de A é um vetor não nulo que satisfaz A v = \lambda v para algum escalar \lambda (o autovalor).
Para encontrar autovetores temos primeiro que achar os autovalores \lambda, resolvendo a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} então \det M = ad-bc.
Vou aplicar isso para obter o polinómio característico de A.
Passo 3
Calcular o polinómio característico \det(A-\lambda I):
A-\lambda I = \begin{pmatrix}-3-\lambda & 2 \\[4pt] 4 & -5-\lambda\end{pmatrix},
O sistema linear (A+I)v=0 para v=(x,y)^{T} dá as equações
-2x+2y=0,\qquad 4x-4y=0.
As duas equações são equivalentes; simplificando a primeira: -2x+2y=0\Rightarrow y=x.
Portanto os autovetores associados a \lambda_{1}=-1 são todos os múltiplos de
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Não importa a escala; escolhi v_{1} com entradas inteiras simples.)]
Qualquer múltiplo não-nulo de v_{1} ou v_{2} poderia ser usado como coluna; a independência linear das colunas (aqui clara) garante que P é invertível.
Com essa escolha vale a relação de diagonalização A P = P D, onde