(30.0 Pontos) Determine a matriz P (de autovectores) da matriz A=\left[\begin{array}{cc}-3 & 2 \\\\ 4 & -5\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix}
e pede para determinar a matriz P “de autovectores” associada a A.
Informações / pedidos explícitos:
  • Informação dada: a matriz A (matriz 2\times2).
  • Pedido: encontrar a matriz P cujas colunas são autovectores de A.]

Passo 2

O que significa construir P? Vou explicar passo a passo.
  • Um autovetor v de A é um vetor não nulo que satisfaz A v = \lambda v para algum escalar \lambda (o autovalor).
  • Para encontrar autovetores temos primeiro que achar os autovalores \lambda, resolvendo a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
  • Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é simples: se M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} então \det M = ad-bc.
    Vou aplicar isso para obter o polinómio característico de A.

Passo 3

Calcular o polinómio característico \det(A-\lambda I):
A-\lambda I = \begin{pmatrix}-3-\lambda & 2 \\[4pt] 4 & -5-\lambda\end{pmatrix},
então
\det(A-\lambda I) = (-3-\lambda)(-5-\lambda) - (2\cdot 4).
Faço as contas:
(-3-\lambda)(-5-\lambda) = (\lambda+3)(\lambda+5) = \lambda^{2}+8\lambda+15,
e subtraindo 2\cdot 4=8 obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}+8\lambda+15-8=\lambda^{2}+8\lambda+7.
Agora resolvo \lambda^{2}+8\lambda+7=0. Usando a fórmula quadrática ou fatorando:
\lambda^{2}+8\lambda+7=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{-8\pm\sqrt{64-28}}{2}=\frac{-8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-8\pm6}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=-1,\qquad \lambda_{2}=-7.]

Passo 4

Agora encontro os autovetores correspondentes. Para cada \lambda resolvo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda_{1}=-1:
A-(-1)I = A+I = \begin{pmatrix}-3+1 & 2 \\[4pt] 4 & -5+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] 4 & -4\end{pmatrix}.
O sistema linear (A+I)v=0 para v=(x,y)^{T} dá as equações
-2x+2y=0,\qquad 4x-4y=0.
As duas equações são equivalentes; simplificando a primeira: -2x+2y=0\Rightarrow y=x.
Portanto os autovetores associados a \lambda_{1}=-1 são todos os múltiplos de
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Não importa a escala; escolhi v_{1} com entradas inteiras simples.)]

Passo 5

Para \lambda_{2}=-7:
A-(-7)I = A+7I = \begin{pmatrix}-3+7 & 2 \\[4pt] 4 & -5+7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2 \\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix}.
O sistema (A+7I)v=0
4x+2y=0,\qquad 4x+2y=0.
Da primeira equação 4x+2y=0\Rightarrow 2x+y=0\Rightarrow y=-2x.
Logo os autovetores associados a \lambda_{2}=-7 são múltiplos de
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Construo a matriz P colocando os autovetores como colunas. Seguindo a ordem \lambda_{1}=-1 então \lambda_{2}=-7, tomo
P=\begin{pmatrix} v_{1} & v_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & -2 \end{pmatrix}.
Observações rápidas e úteis para a prova:
  • Qualquer múltiplo não-nulo de v_{1} ou v_{2} poderia ser usado como coluna; a independência linear das colunas (aqui clara) garante que P é invertível.
  • Com essa escolha vale a relação de diagonalização A P = P D, onde
D=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & -7\end{pmatrix},
o que pode ser verificado multiplicando A por P e comparando com P D.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}]

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