(20.0 Pontos) Determine a equação da recta formada pelos pontos P(4 ; 3); e Q(2 ;-1) e determine a ordenada do ponto com abcissa x=5.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos e pede duas coisas. Dados:
  • Ponto P(4;3), isto é x_1=4 e y_1=3.
  • Ponto Q(2;-1), isto é x_2=2 e y_2=-1.
O que pedir:
  1. Determinar a equação da recta que passa por P e Q.
  2. Determinar a ordenada (valor de y) do ponto da recta cuja abcissa é x=5.

Passo 2

Entender o que é a inclinação (coeficiente angular) da recta. A inclinação m mede quanto a recta sobe (ou desce) quando x aumenta uma unidade. A fórmula para a inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui tomamos (x_1,y_1)=(4,3) e (x_2,y_2)=(2,-1). Calculando:
m=\frac{-1-3}{2-4}=\frac{-4}{-2}=2.
Interpretação: a recta sobe 2 unidades em y para cada 1 unidade que x aumenta.

Passo 3

Escolher a forma ponto-inclinação da equação da recta, que é prática para uma recta conhecida por um ponto e a inclinação. A fórmula é:
y-y_1=m(x-x_1),
onde (x_1,y_1) é um ponto da recta e m é a inclinação. Usando o ponto P(4,3) e m=2:
y-3=2(x-4).
Agora expandir e isolar y para obter a forma y=mx+b (forma reduzida):
y-3=2x-8,
y=2x-8+3,
y=2x-5.

Passo 4

Verificar rapidamente que a equação encontrada passa pelos dois pontos (checar com Q). Substituindo x=2 em y=2x-5:
y=2\cdot2-5=4-5=-1,
que coincide com a ordenada de Q. Boa — a equação está correcta.

Passo 5

Determinar a ordenada do ponto com abcissa x=5. Basta substituir x=5 na equação da recta:
y=2\cdot5-5=10-5=5.
Portanto o ponto com x=5 tem ordenada y=5.

Resposta

y=2x-5
y(5)=5

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