(20 pontos) A Integral definida
L=integrala^b raiz1+(f^prime(x))^2 d x
mede o comprimento L do gráfico da função y=f(x), no intervalo [a, b].
Dado um fio sobreposto ao gráfico da função
f(x)=e^x+e^-x2
com x no intervalo [-ln (10), ln (10)], o comprimento desse fio é
A) 9910.
B) 9810.
C) 9710.
D) 9610.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular o comprimento L = integrala^b raiz1 + (f^prime(x))^2 , dx do gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar a fórmula da integral definida que calcula o comprimento de uma curva:
Aqui, é a derivada da função . Vamos precisar calcular essa derivada e depois resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = e^x + e^-x2 . A função dada é:
f^prime(x) = e^x - e^-x2
Sabemos que a derivada de é e a derivada de é . Então, aplicando a regra da derivada:

Passo 3

Agora que temos a derivada raiz1 + (f^prime(x))^2 = raiz1 + (e^x - e^-x2)^2 , vamos substituir na fórmula do comprimento da curva:
(e^x - e^-x2)^2 = (e^x - e^-x)^24 = e^2x - 2 + e^-2x4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos ao quadrado o numerador:
raiz1 + e^2x - 2 + e^-2x4 = raiz4 + e^2x - 2 + e^-2x4 = raize^2x + e^-2x + 24
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Observamos que raiz(e^x + e^-x)^24 = e^x + e^-x2 . Portanto:
L = integral- ln(10)^ln(10) e^x + e^-x2 , dx
Então, a integral para o comprimento da curva fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral. A integral de L = 12 [ e^x - e^-x ]- ln(10)^ln(10) é e a integral de é . Então:

Passo 6

Agora, vamos substituir os limites de integração:
L = 12 ( e^ln(10) - e^-ln(10) - ( e^- ln(10) - e^ln(10) ) )
Sabemos que L = 12 ( 10 - 110 - ( 110 - 10 ) ) = 12 ( 10 - 110 - 110 + 10 ) = 12 ( 20 - 210 ) = 12 times 19810 e . Aplicando isso:

Passo 7

Simplificando a expressão final:
L = 19820 = 9910

Resposta

A resposta correta é A) .

Exercícios relacionados