(20 pontos) A Integral definida
mede o comprimento
do gráfico da função
, no intervalo
.
Dado um fio sobreposto ao gráfico da função
no intervalo
, o comprimento desse fio é
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
Dado um fio sobreposto ao gráfico da função
A)
B)
C)
D)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular o comprimento
do gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a fórmula da integral definida que calcula o comprimento de uma curva:
Aqui,
é a derivada da função
. Vamos precisar calcular essa derivada e depois resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A função dada é:
Sabemos que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, aplicando a regra da derivada:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos substituir na fórmula do comprimento da curva:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos ao quadrado o numerador:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Observamos que
. Portanto:
Então, a integral para o comprimento da curva fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A integral de
é
e a integral de
é
. Então:
Passo 6
Agora, vamos substituir os limites de integração:
Sabemos que
e
. Aplicando isso:
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Resposta
A resposta correta é A)
.