Considere a região
do plano limitada pelo gráfico das funções
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Desenhe a regiāo
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Desenhe a regiāo
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para a gente considerar a região $ R $ no plano que é limitada pelos gráficos das funções $ y = \frac{x^{2}}{4} $ e $ y = 5 - x^{2} $. A gente vai precisar entender um pouco sobre gráficos de funções quadráticas e como identificar a área que essas curvas delimitam no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas duas funções se encontram. Isso acontece quando $ \frac{x^{2}}{4} = 5 - x^{2} $. Vamos resolver essa equação para descobrir os valores de $ x $ onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por 4 para eliminar o denominador, temos:
Agora, somando $ 4x^{2} $ em ambos os lados:
Dividindo por 5:
Então, $ x = 2 $ ou $ x = -2 $.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em $ x = -2 $ e $ x = 2 $, vamos determinar quais das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor de $ x $ entre -2 e 2, por exemplo, $ x = 0 $:
Isso mostra que, nesse intervalo, $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{x^{2}}{4} $.
Passo 5
Com essas informações, podemos desenhar os gráficos das duas funções:
- $ y = \frac{x^{2}}{4} $ é uma parábola que abre para cima, com vértice na origem.
- $ y = 5 - x^{2} $ é uma parábola que abre para baixo, com vértice em $ (0, 5) $.
A região $ R $ será a área entre essas duas curvas, entre $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
Resposta
A região $ R $ é a área delimitada pelas parábolas $ y = \frac{x^{2}}{4} $ e $ y = 5 - x^{2} $, compreendida entre os pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $. No gráfico, isso aparece como a área fechada onde a curva de $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{x^{2}}{4} $.