Q1 (20 pontos). Seja R=[0,1] \times[0,1]. O valor da integral
\iint_{R} x y^{3} d A
é igual a:
a 2
b 81 / 8
c 3 / 8
d 1 / 8
e nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá a região retangular R=[0,1]\times[0,1] e pede o valor da integral dupla
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA.
As opções fornecidas são:
a) 2
b) 81/8
c) 3/8
d) 1/8
e) nenhuma das anteriores
Passo 2
Primeira ideia prática (sem perder a calma): em uma região retangular como R=[0,1]\times[0,1] podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada — isto é, integrar em uma variável e depois na outra. Escrevemos explicitamente a integral iterada (uma escolha conveniente é integrar primeiro em y e depois em x):
Aqui x e y são as variáveis de integração; dentro da integral interna (em y) a variável x se comporta como constante.
Explicação didática rápida: quando um fator depende só de x e outro só de y (como x\cdot y^3), muitas vezes dá pra separar ou, pelo menos, puxar constantes para fora da integral interna — isso simplifica bastante o cálculo.
Passo 3
Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1} x\,y^{3}\,dy.
Como x é constante relativamente a y, podemos puxá-lo para fora: