Q1 (20 pontos). Seja R=[0,1] \times[0,1]. O valor da integral
\iint_{R} x y^{3} d A
é igual a:
a 2
b 81 / 8
c 3 / 8
d 1 / 8
e nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a região retangular R=[0,1]\times[0,1] e pede o valor da integral dupla
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA.
As opções fornecidas são:
a) 2
b) 81/8
c) 3/8
d) 1/8
e) nenhuma das anteriores

Passo 2

Primeira ideia prática (sem perder a calma): em uma região retangular como R=[0,1]\times[0,1] podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada — isto é, integrar em uma variável e depois na outra. Escrevemos explicitamente a integral iterada (uma escolha conveniente é integrar primeiro em y e depois em x):
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA = \int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{1} x\,y^{3}\,dy\right)dx.
Aqui x e y são as variáveis de integração; dentro da integral interna (em y) a variável x se comporta como constante.
Explicação didática rápida: quando um fator depende só de x e outro só de y (como x\cdot y^3), muitas vezes dá pra separar ou, pelo menos, puxar constantes para fora da integral interna — isso simplifica bastante o cálculo.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1} x\,y^{3}\,dy.
Como x é constante relativamente a y, podemos puxá-lo para fora:
\int_{0}^{1} x\,y^{3}\,dy = x\int_{0}^{1} y^{3}\,dy.
Agora usamos a regra de potência para primitivação (antiderivada): para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=3, logo uma antiderivada de y^{3} é \tfrac{y^{4}}{4}. Avaliando entre 0 e 1:
\int_{0}^{1} y^{3}\,dy = \left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{1}{4}.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{1} x\,y^{3}\,dy = x\cdot\frac{1}{4} = \frac{x}{4}.

Passo 4

Substituímos o resultado na integral externa em x:
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA = \int_{0}^{1} \frac{x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{1} x\,dx,
onde mais uma vez puxamos a constante \tfrac{1}{4} para fora da integral.

Passo 5

Calcular \int_{0}^{1} x\,dx usando novamente a regra de potência (agora com n=1):
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C,
logo
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-0=\frac{1}{2}.
Portanto
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{8}.

Passo 6

Verificação alternativa rápida (para ganhar confiança): se trocarmos a ordem e integrarmos primeiro em x,
\int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{1} x\,y^{3}\,dx\right)dy = \int_{0}^{1}\!\left(y^{3}\int_{0}^{1} x\,dx\right)dy = \int_{0}^{1} y^{3}\cdot\frac{1}{2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} y^{3}\,dy = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8},
mesmo resultado — bom sinal de consistência.

Resposta

d \dfrac{1}{8}

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