EXERCÍCIO 2: À luz dos métodos de análise empregados na mecânica dos fluidos, defina Sistema e Volume de Controle. Dê um exemplo de cada método.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o que é um Sistema (método Lagrangiano) e dar um exemplo desse método.
- Definir o que é um Volume de Controle (método Euleriano) e dar um exemplo desse método.
Informações úteis implícitas no enunciado:
- Precisa-se não só da definição formal, mas também de entender quando e como usar cada método na prática (para a prova).
- É esperado um exemplo aplicado que mostre a diferença prática entre os dois métodos.
Passo 2
O que exatamente é um Sistema (visão geral e ideia prática)
- Intuitivamente: um Sistema é um conjunto fixo de massa — uma “coleção de partículas” que eu marco e acompanho ao longo do tempo. Pense em colar etiquetas nas mesmas partículas e seguir o movimento delas.
- Propriedade chave: a massa do sistema não muda com o tempo (a menos que o sistema seja definido de forma a incluir/excluir massa, o que não é o caso no conceito padrão). Em termos simbólicos, se
é a massa do sistema, então
- O que isso facilita na prova: para problemas onde nenhum fluxo de massa entra ou sai (sistemas fechados, por exemplo um gás preso num cilindro fechado), é quase sempre mais direto aplicar as leis de conservação ao sistema (energia, momento, etc.) porque não preciso me preocupar com termos de entrada/saída de massa.
Passo 3
Definição formal e equações básicas para um Sistema
- Definição formal: um Sistema é uma quantidade fixa de massa identificada por partículas, que se move e pode deformar, mas que não troca massa com o exterior (pela definição do sistema).
- Exemplos de equações aplicáveis diretamente ao sistema:
- Segunda lei de Newton para o sistema (forma Lagrangiana):
onde é a soma das forças externas sobre o sistema, é a massa do sistema (constante) e é a velocidade do centro de massa do sistema. - Primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado (energia interna, trabalho e calor):
em que é a variação da energia total do sistema, é o calor adicionado ao sistema e o trabalho feito pelo sistema.
Passo 4
Exemplo prático do método “Sistema” (passo a passo para usar na prova)
- Escolha do sistema: pegar todo o gás dentro de um cilindro com êmbolo fechado (parafuso/vedação perfeita) — massa fixa.
- O que faço na prova:
- Escrevo que a massa é constante:
. - Aplico a primeira lei para sistema fechado:
. - Se pedirem variação de energia interna
, faço (sem fluxos de massa para complicar).
- Escrevo que a massa é constante:
- Por que é simples: não há termos de fluxo de massa a considerar; todas as trocas são por calor e trabalho de fronteira.
Passo 5
O que é um Volume de Controle (visão geral e ideia prática)
- Intuitivamente: um Volume de Controle (VC) é uma região do espaço escolhida e observada — pode ser fixa no espaço ou se mover/rotacionar — através da qual substâncias entram e saem.
- Propriedade chave: massa dentro do VC pode mudar com o tempo porque há fluxos através da superfície de controle (fronteira do VC).
- Quando usar: para dispositivos abertos com entrada e saída de fluido (turbinas, compressores, bicos, trocadores, canais), o VC é quase sempre a escolha correta na prova.
Passo 6
Relacione sistema e volume de controle com o Teorema do Transporte de Reynolds (aprender a ferramenta)
- A ponte entre as duas abordagens é o Teorema do Transporte de Reynolds, que permite transformar a taxa temporal de uma propriedade do sistema em termos do VC mais os fluxos através da superfície de controle.
- Forma integral do Teorema (forma conveniente para a prova): se
é alguma quantidade extensiva do sistema e é a quantidade por unidade de massa, então
onde:
-
é o volume de controle, -
é a superfície de controle que bordea o , -
é a densidade, -
é a velocidade do fluido (no ponto da superfície), -
é o vetor normal à superfície, apontando para fora do , -
é elemento de área da superfície. - Interpretação: a taxa de variação da propriedade no sistema = taxa de variação dentro do CV + a contribuição de transporte pelos fluxos na superfície.
Passo 7
Casos práticos e equações usuais do Volume de Controle
- Continuidade (escolhendo
na RTT):
- No caso estacionário (regime permanente), o primeiro termo some e fica
, que significa que a massa que entra é igual à que sai. - Quantidade de movimento (escolhendo
):
- Em regime estacionário e para muitas aplicações, o termo de derivada do volume some e a fórmula reduz a contabilização entre forças e fluxos de momento através das entradas/saídas.
Passo 8
Exemplo prático do método “Volume de Controle” (bico/fole/entrada-saída) — passo a passo simples
- Problema típico: fluido atravessando um bocal (nozzle) de área
na entrada e na saída, com fluxo estacionário e incompressível. - Como resolver (esquema que você pode usar na prova):
- Escolher
englobando o bocal, com superfícies de corte em entrada e saída e parede do próprio bocal. - Aplicar continuidade estacionária:
- Se pedirem força ou variação de momento, usar a equação integral de momento e computar os termos de fluxo
.
- Escolher
- Por que é conveniente: o fluxo (entrada/saída) é tratado diretamente como termos de superfície; não preciso “seguir” partículas individuais.
Passo 9
Dicas práticas para escolher em uma prova (heurísticas rápidas)
- Use Sistema quando:
- O problema fala de massa fixa, recipiente fechado, lata, bala, gota, partícula — ou quando é natural “seguir” o mesmo conjunto de partículas.
- Quer evitar termos de fluxo de massa.
- Use Volume de Controle quando:
- O problema envolve dispositivos com entrada e saída de fluido (turbina, compressor, bomba, bocal, canal).
- Estamos interessados em taxas (vazão mássica
, empuxos causados por fluxos, potência entregue por um escoamento).
- Sempre: escolha a descrição que torne os termos de fluxo mínimos e que deixe as condições de contorno claras.
- Atenção em provas: se for usar RTT, escreva claramente o
, o , a orientação do vetor normal e sinalize quais fluxos são positivos/negativos.
Passo 10
Erros comuns e como evitá-los (para não perder ponto na prova)
- Esquecer a orientação do vetor normal
na superfície de controle e, por consequência, trocar o sinal do termo de fluxo. - Misturar fórmulas do sistema com fórmulas do CV sem justificar a aplicação do Teorema do Transporte de Reynolds.
- Na aplicação em regime permanente, esquecer de zerar o termo de derivada temporal do volume de controle.
- Não declarar claramente o CV ou o sistema escolhido (sempre deixe isso explícito na solução da prova).
Passo 11
Recapitulando a técnica de resolução em 3 passos (o “caminho rápido” que funciona na prova)
- Ler o enunciado e decidir: há fluxo de massa entrando/saindo? Sim → Volume de Controle. Não → Sistema.
- Escolher o volume/sistema explicitamente, desenhar o CV e a superfície de controle (marcar direções de
e ). - Aplicar a equação integral adequada (continuidade, momento, energia), usar o Teorema do Transporte de Reynolds se for transformar entre sistema e CV, e resolver os termos (no caso estacionário, simplificar onde possível).
Resposta
Sistema: um conjunto fixo de massa identificado e seguido no tempo (massa do sistema constante). Exemplo: o gás contido em um cilindro fechado com êmbolo selado — analisa-se como sistema fechado usando
.
Volume de Controle: uma região do espaço (fixa ou móvel) através da qual massa pode entrar e sair; usa-se o Teorema do Transporte de Reynolds para relacionar variações internas e fluxos pela superfície de controle. Exemplo: um bocal/turbina analisado por um CV em regime estacionário, aplicando continuidade e a forma integral do momento para avaliar forças.
Volume de Controle: uma região do espaço (fixa ou móvel) através da qual massa pode entrar e sair; usa-se o Teorema do Transporte de Reynolds para relacionar variações internas e fluxos pela superfície de controle. Exemplo: um bocal/turbina analisado por um CV em regime estacionário, aplicando continuidade