EXERCÍCIO 2: À luz dos métodos de análise empregados na mecânica dos fluidos, defina Sistema e Volume de Controle. Dê um exemplo de cada método.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é um Sistema (método Lagrangiano) e dar um exemplo desse método.
  • Definir o que é um Volume de Controle (método Euleriano) e dar um exemplo desse método.
Informações úteis implícitas no enunciado:
  • Precisa-se não só da definição formal, mas também de entender quando e como usar cada método na prática (para a prova).
  • É esperado um exemplo aplicado que mostre a diferença prática entre os dois métodos.

Passo 2

O que exatamente é um Sistema (visão geral e ideia prática)
  • Intuitivamente: um Sistema é um conjunto fixo de massa — uma “coleção de partículas” que eu marco e acompanho ao longo do tempo. Pense em colar etiquetas nas mesmas partículas e seguir o movimento delas.
  • Propriedade chave: a massa do sistema não muda com o tempo (a menos que o sistema seja definido de forma a incluir/excluir massa, o que não é o caso no conceito padrão). Em termos simbólicos, se m_{sys} é a massa do sistema, então
\frac{d m_{sys}}{dt}=0.
  • O que isso facilita na prova: para problemas onde nenhum fluxo de massa entra ou sai (sistemas fechados, por exemplo um gás preso num cilindro fechado), é quase sempre mais direto aplicar as leis de conservação ao sistema (energia, momento, etc.) porque não preciso me preocupar com termos de entrada/saída de massa.

Passo 3

Definição formal e equações básicas para um Sistema
  • Definição formal: um Sistema é uma quantidade fixa de massa identificada por partículas, que se move e pode deformar, mas que não troca massa com o exterior (pela definição do sistema).
  • Exemplos de equações aplicáveis diretamente ao sistema:
    • Segunda lei de Newton para o sistema (forma Lagrangiana):
    \sum \mathbf{F}_{ext} = \frac{d}{dt}\left(m_{sys}\mathbf{v}_{sys}\right),onde \sum \mathbf{F}_{ext} é a soma das forças externas sobre o sistema, m_{sys} é a massa do sistema (constante) e \mathbf{v}_{sys} é a velocidade do centro de massa do sistema.
    • Primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado (energia interna, trabalho e calor):
    \Delta E_{sys} = Q - W,em que \Delta E_{sys} é a variação da energia total do sistema, Q é o calor adicionado ao sistema e W o trabalho feito pelo sistema.

Passo 4

Exemplo prático do método “Sistema” (passo a passo para usar na prova)
  • Escolha do sistema: pegar todo o gás dentro de um cilindro com êmbolo fechado (parafuso/vedação perfeita) — massa fixa.
  • O que faço na prova:
    1. Escrevo que a massa é constante: \frac{d m_{sys}}{dt}=0.
    2. Aplico a primeira lei para sistema fechado: \Delta E_{sys}=Q-W.
    3. Se pedirem variação de energia interna \Delta U, faço \Delta U = Q - W_{boundary} (sem fluxos de massa para complicar).
  • Por que é simples: não há termos de fluxo de massa a considerar; todas as trocas são por calor e trabalho de fronteira.

Passo 5

O que é um Volume de Controle (visão geral e ideia prática)
  • Intuitivamente: um Volume de Controle (VC) é uma região do espaço escolhida e observada — pode ser fixa no espaço ou se mover/rotacionar — através da qual substâncias entram e saem.
  • Propriedade chave: massa dentro do VC pode mudar com o tempo porque há fluxos através da superfície de controle (fronteira do VC).
  • Quando usar: para dispositivos abertos com entrada e saída de fluido (turbinas, compressores, bicos, trocadores, canais), o VC é quase sempre a escolha correta na prova.

Passo 6

Relacione sistema e volume de controle com o Teorema do Transporte de Reynolds (aprender a ferramenta)
  • A ponte entre as duas abordagens é o Teorema do Transporte de Reynolds, que permite transformar a taxa temporal de uma propriedade do sistema em termos do VC mais os fluxos através da superfície de controle.
  • Forma integral do Teorema (forma conveniente para a prova): se B_{sys} é alguma quantidade extensiva do sistema e b é a quantidade por unidade de massa, então
\frac{d}{dt}\int_{sys} b\, dm = \frac{d}{dt}\int_{CV} b\,\rho\, dV + \int_{CS} b\,\rho\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\, dA,
onde:
  • CV é o volume de controle,
  • CS é a superfície de controle que bordea o CV,
  • \rho é a densidade,
  • \mathbf{v} é a velocidade do fluido (no ponto da superfície),
  • \mathbf{n} é o vetor normal à superfície, apontando para fora do CV,
  • dA é elemento de área da superfície.
  • Interpretação: a taxa de variação da propriedade no sistema = taxa de variação dentro do CV + a contribuição de transporte pelos fluxos na superfície.

Passo 7

Casos práticos e equações usuais do Volume de Controle
  • Continuidade (escolhendo b=1 na RTT):
\frac{d}{dt}\int_{CV} \rho\, dV + \int_{CS} \rho\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\, dA = 0.
  • No caso estacionário (regime permanente), o primeiro termo some e fica \int_{CS} \rho\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\, dA = 0, que significa que a massa que entra é igual à que sai.
  • Quantidade de movimento (escolhendo b=\mathbf{v}):
\sum \mathbf{F}_{ext} = \frac{d}{dt}\int_{CV} \rho\mathbf{v}\, dV + \int_{CS} \rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\, dA.
  • Em regime estacionário e para muitas aplicações, o termo de derivada do volume some e a fórmula reduz a contabilização entre forças e fluxos de momento através das entradas/saídas.

Passo 8

Exemplo prático do método “Volume de Controle” (bico/fole/entrada-saída) — passo a passo simples
  • Problema típico: fluido atravessando um bocal (nozzle) de área A_1 na entrada e A_2 na saída, com fluxo estacionário e incompressível.
  • Como resolver (esquema que você pode usar na prova):
    1. Escolher CV englobando o bocal, com superfícies de corte em entrada e saída e parede do próprio bocal.
    2. Aplicar continuidade estacionária:
    \dot m = \rho A_1 v_1 = \rho A_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad A_1 v_1 = A_2 v_2.
    1. Se pedirem força ou variação de momento, usar a equação integral de momento e computar os termos de fluxo \int_{CS} \rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\, dA.
  • Por que é conveniente: o fluxo (entrada/saída) é tratado diretamente como termos de superfície; não preciso “seguir” partículas individuais.

Passo 9

Dicas práticas para escolher em uma prova (heurísticas rápidas)
  • Use Sistema quando:
    • O problema fala de massa fixa, recipiente fechado, lata, bala, gota, partícula — ou quando é natural “seguir” o mesmo conjunto de partículas.
    • Quer evitar termos de fluxo de massa.
  • Use Volume de Controle quando:
    • O problema envolve dispositivos com entrada e saída de fluido (turbina, compressor, bomba, bocal, canal).
    • Estamos interessados em taxas (vazão mássica \dot m, empuxos causados por fluxos, potência entregue por um escoamento).
  • Sempre: escolha a descrição que torne os termos de fluxo mínimos e que deixe as condições de contorno claras.
  • Atenção em provas: se for usar RTT, escreva claramente o CV, o CS, a orientação do vetor normal \mathbf{n} e sinalize quais fluxos são positivos/negativos.

Passo 10

Erros comuns e como evitá-los (para não perder ponto na prova)
  • Esquecer a orientação do vetor normal \mathbf{n} na superfície de controle e, por consequência, trocar o sinal do termo de fluxo.
  • Misturar fórmulas do sistema com fórmulas do CV sem justificar a aplicação do Teorema do Transporte de Reynolds.
  • Na aplicação em regime permanente, esquecer de zerar o termo de derivada temporal do volume de controle.
  • Não declarar claramente o CV ou o sistema escolhido (sempre deixe isso explícito na solução da prova).

Passo 11

Recapitulando a técnica de resolução em 3 passos (o “caminho rápido” que funciona na prova)
  1. Ler o enunciado e decidir: há fluxo de massa entrando/saindo? Sim → Volume de Controle. Não → Sistema.
  2. Escolher o volume/sistema explicitamente, desenhar o CV e a superfície de controle (marcar direções de \mathbf{v} e \mathbf{n}).
  3. Aplicar a equação integral adequada (continuidade, momento, energia), usar o Teorema do Transporte de Reynolds se for transformar entre sistema e CV, e resolver os termos (no caso estacionário, simplificar onde possível).

Resposta

Sistema: um conjunto fixo de massa identificado e seguido no tempo (massa do sistema constante). Exemplo: o gás contido em um cilindro fechado com êmbolo selado — analisa-se como sistema fechado usando \Delta E_{sys}=Q-W.
Volume de Controle: uma região do espaço (fixa ou móvel) através da qual massa pode entrar e sair; usa-se o Teorema do Transporte de Reynolds para relacionar variações internas e fluxos pela superfície de controle. Exemplo: um bocal/turbina analisado por um CV em regime estacionário, aplicando continuidade \rho A_1 v_1=\rho A_2 v_2 e a forma integral do momento para avaliar forças.

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