EXERCÍCIO 5: Um trecho de redução em um tubo de água tem um diâmetro de entrada de 50 mm e diâmetro de saída de 30 mm . Se a velocidade na entrada (média através da área de entrada) é 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, encontre a velocidade de saída.
(Resposta: V_{\text {out }}=7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade de saída do trecho de redução dado que a velocidade média na entrada é 2,5\\ \mathrm{m/s}. As informações fornecidas (peguei estes números do enunciado e da imagem) são:
  • diâmetro de entrada: d_{\text{in}} = 50\\ \mathrm{mm};
  • diâmetro de saída: d_{\text{out}} = 30\\ \mathrm{mm};
  • velocidade média na entrada: V_{\text{in}} = 2,5\\ \mathrm{m/s}.
A pergunta concreta é: qual é V_{\text{out}}, a velocidade média na seção de saída?

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática):
  • Para um fluido incompressível e regime estacionário, o caudal volumétrico é conservado ao longo do tubo. Isso significa que a vazão volumétrica Q é a mesma em qualquer seção:
Q = A \, V,
onde A é a área da seção transversal e V é a velocidade média através dessa área.
  • Para uma seção circular, a área em função do diâmetro é dada por:
A = \frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro da seção. Aqui:
  • A tem unidades de \mathrm{m^{2}},
  • d deve estar em \mathrm{m}.
Explicando por que a fórmula funciona: a área de um círculo é \pi r^{2}; como r = d/2, substituindo vem A = \pi (d/2)^{2} = \pi d^{2}/4.

Passo 3

Aplicando conservação de vazão entre entrada (1) e saída (2):
A_{1} V_{1} = A_{2} V_{2}.
Isolando V_{2}:
V_{2} = V_{1}\,\frac{A_{1}}{A_{2}}.
Substituindo A=\dfrac{\pi d^{2}}{4} nas áreas, o fator \dfrac{\pi}{4} cancela:
\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{\dfrac{\pi d_{1}^{2}}{4}}{\dfrac{\pi d_{2}^{2}}{4}} = \frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}.
Portanto:
V_{2} = V_{1}\,\frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}.
Aqui:
  • d_{1} é d_{\text{in}},
  • d_{2} é d_{\text{out}}.

Passo 4

Agora plugamos os valores numéricos. Primeiro, notar que as unidades mm se cancelam na razão de quadrados, mas para ficar consistente podemos converter para metros:
d_{1} = 50\\ \mathrm{mm} = 0,050\\ \mathrm{m},\qquad d_{2} = 30\\ \mathrm{mm} = 0,030\\ \mathrm{m}.
Calcule a razão de quadrados:
\frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}} = \frac{(0,050)^{2}}{(0,030)^{2}} = \frac{0,0025}{0,0009} = \frac{2500}{900} = \frac{25}{9}\approx 2{,}777\ldots

Passo 5

Calcule V_{2}:
V_{2} = V_{1}\,\frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}} = 2{,}5\cdot\frac{25}{9} = \frac{62{,}5}{9} \approx 6{,}944444\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) fica V_{2}\approx 6{,}94\\ \mathrm{m/s}.
Comentário útil e honesto: a resposta fornecida no enunciado é V_{\text{out}}=7{,}5\\ \mathrm{m/s}. Com os dados explícitos d_{\text{in}}=50\\ \mathrm{mm} e d_{\text{out}}=30\\ \mathrm{mm} e aplicando corretamente a conservação de vazão, o valor correto é 6{,}94\\ \mathrm{m/s}. A diferença para 7{,}5\\ \mathrm{m/s} pode vir de um erro de arredondamento, de um dado de diâmetro ligeiramente diferente (por exemplo d_{\text{out}} próximo de 28{,}9\\ \mathrm{mm} daria 7{,}5\\ \mathrm{m/s}), ou de lapso na resposta fornecida. Mas o procedimento físico e matemático apresentado aqui é o correto.

Resposta

V_{\text{out}} \approx 6{,}94\\ \mathrm{m/s}

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