(20 pontos) Sejam
(a) Sejaur
e
duas séries de termos positivos, e suponha que
Entio ambas convergen ou ambas divergem.
b) Estude a convergéncia da série
(a) Sejaur
b) Estude a convergéncia da série
Passo 1
O exercício trata de séries numéricas de termos positivos e tem duas partes:
– (a) provar o teste da comparação por limite: se e
são séries com
,
e
– (a) provar o teste da comparação por limite: se
então
e
ou ambas convergem ou ambas divergem.
– (b) aplicar esse teste para estudar a convergência da série
– (b) aplicar esse teste para estudar a convergência da série
Passo 2
Prova do item (a). Seja
com
. Então existe
tal que, para todo
,
Isto é, para
,
Como
e
são constantes positivas, a convergência ou divergência de
segue da comparação direta com
. Como o comportamento de uma série não muda ao tirar um número finito de termos, concluímos que
e
ou ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 3
Aplicação ao item (b). Definimos
e calculamos o limite da razão:
Como este limite é um número finito e não nulo, pelo teste do item (a) a série
tem o mesmo comportamento de
. Mas
é a série harmônica, que diverge. Logo
também diverge.
Resposta
(a) Demonstração do teste da comparação por limite concluída.
(b) A série
diverge.
(b) A série