(20 pontos) Sejam
(a) Sejaur sum an e sum bn duas séries de termos positivos, e suponha que
0<lim anbn<infty
Entio ambas convergen ou ambas divergem.
b) Estude a convergéncia da série
sumn=1^infty 1raizn(2 n+1)

Passo 1

O exercício trata de séries numéricas de termos positivos e tem duas partes:
– (a) provar o teste da comparação por limite: se sum an e sum bn são séries com an>0, bn>0 e
0<limntoinftyanbn<infty,
então sum an e sum bn ou ambas convergem ou ambas divergem.
– (b) aplicar esse teste para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1raizn(2n+1)

Passo 2

Prova do item (a). Seja
L=limntoinftyanbn,
com 0< L<infty. Então existe NinN tal que, para todo n>= N,
L2<= anbn<= 2L
Isto é, para n>= N,
L2,bn<= an<= 2L,bn
Como L2 e 2L são constantes positivas, a convergência ou divergência de sumn=N^infty an segue da comparação direta com sumn=N^infty bn. Como o comportamento de uma série não muda ao tirar um número finito de termos, concluímos que sum an e sum bn ou ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 3

Aplicação ao item (b). Definimos
an=1raizn(2n+1), bn=1n,
e calculamos o limite da razão:
limntoinftyanbn = limntoinfty1raizn(2n+1)1n = limntoinftynraiz2n^2 + n = limntoinfty1raiz2 + tfrac1n = 1raiz2
Como este limite é um número finito e não nulo, pelo teste do item (a) a série sum an tem o mesmo comportamento de sum bn. Mas sum bn=sum1/n é a série harmônica, que diverge. Logo sum an também diverge.

Resposta

(a) Demonstração do teste da comparação por limite concluída.
(b) A série
sumn=1^infty1raizn(2n+1) diverge.

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