(20 pontos)
(a) Se
e absolutamente convergente, prove que
converge.
(b) Use um contra-exemplo para provar que a reciproca do item (a) 6 falsa
(c) Se
e
convergem, prove que
converge absolutamente.
(a) Se
(b) Use um contra-exemplo para provar que a reciproca do item (a) 6 falsa
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede:
(a) Se converge absolutamente, provar que
converge.
(b) Mostrar, por contra-exemplo, que a recíproca de (a) é falsa.
(c) Se e
convergem, provar que
converge absolutamente.
Conteúdos principais: critério de comparação de séries e desigualdade de AM–GM (ou Cauchy–Schwarz).
(a) Se
(b) Mostrar, por contra-exemplo, que a recíproca de (a) é falsa.
(c) Se
Conteúdos principais: critério de comparação de séries e desigualdade de AM–GM (ou Cauchy–Schwarz).
Passo 2
Como
converge absolutamente, isto é
, tem-se
. Logo existe
tal que para todo
vale
Para esses
Como
converge, por comparação
também converge. Os primeiros
termos são finitos, logo
. Assim
converge.
Passo 3
Para ver que a recíproca é falsa, considere
Então
(p-série com
), mas
Logo
pode convergir sem
convergir absolutamente.
Passo 4
Queremos
absoluta-mente convergente quando
e
convergem. Pela desigualdade de AM–GM para cada
:
Somando em
:
Logo
converge absolutamente.
Resposta
(a) Vimos que
converge por comparação com
.
(b) Contra-exemplo :
converge e
diverge.
(c) Usando concluímos que
converge absolutamente.
(b) Contra-exemplo
(c) Usando