(20 pontos)
(a) Se sum an e absolutamente convergente, prove que sum an^2 converge.
(b) Use um contra-exemplo para provar que a reciproca do item (a) 6 falsa
(c) Se sum an^2 e sum bn^2 convergem, prove que sum an bn converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado pede:
(a) Se sum an converge absolutamente, provar que sum an^2 converge.
(b) Mostrar, por contra-exemplo, que a recíproca de (a) é falsa.
(c) Se sum an^2 e sum bn^2 convergem, provar que sum anbn converge absolutamente.
Conteúdos principais: critério de comparação de séries e desigualdade de AM–GM (ou Cauchy–Schwarz).

Passo 2

Como sum an converge absolutamente, isto é sum |an|<infty, tem-se limntoinftyan=0. Logo existe N tal que para todo n>= N vale
|an|<1
Para esses n
|an^2|=|an|^2<=|an|
Como sumn=N^infty|an| converge, por comparação sumn=N^infty|an^2| também converge. Os primeiros N-1 termos são finitos, logo sumn=1^infty|an^2|<infty. Assim sum an^2 converge.

Passo 3

Para ver que a recíproca é falsa, considere
an=1n
Então
sumn=1^inftyan^2 =sumn=1^infty1n^2<infty
(p-série com p=2>1), mas
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty1n=infty
Logo sum an^2 pode convergir sem sum an convergir absolutamente.

Passo 4

Queremos sum anbn absoluta-mente convergente quando sum an^2 e sum bn^2 convergem. Pela desigualdade de AM–GM para cada n:
2,|anbn|<= an^2+bn^2
Somando em n>=1:
sumn=1^infty|anbn| <=12l(sumn=1^inftyan^2+sumn=1^inftybn^2r)<infty
Logo sum anbn converge absolutamente.

Resposta

(a) Vimos que sum an^2 converge por comparação com sum|an|.
(b) Contra-exemplo an=1/n: sum1/n^2 converge e sum1/n diverge.
(c) Usando 2|anbn|<= an^2+bn^2 concluímos que sum anbn converge absolutamente.

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