Encontre as assíntotas verticais da função
y=f(x)=x^2+54 x+3 x^2

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais de
y = f(x) = x^2+54x + 3x^2
Em geral, as assíntotas verticais ocorrem nos valores de x que anulam o denominador, desde que o numerador não se anule nesses mesmos pontos (caso contrário teríamos um buraco, não um infinito).

Passo 2

Encontrar os zeros do denominador:
4x + 3x^2 = x,(4 + 3x) = 0
Logo os candidatos são
x = 0 e x = -43

Passo 3

Verificar o numerador nesses pontos:
  • Em x = 0: x^2+5 = 0^2+5 = 5 neq 0.
  • Em x = -tfrac43:
l(-tfrac43r)^2 + 5 = tfrac169 + tfrac459 = tfrac619 neq 0
Como o numerador não zera em nenhum dos dois pontos, ambos são polos de f.

Passo 4

Para confirmar que nessas singularidades a função tende a pminfty, podemos analisar limites rápidos:
  • Para xto 0:
f(x)approx 54x ;Rightarrow; f(x)to +infty,(xto 0^+),; f(x)to -infty,(xto 0^-)
  • Para xto -tfrac43: fatoramos
4x+3x^2=3xl(x+tfrac43r),
e como o numerador não se anula em x=-tfrac43, o quociente diverge em pminfty.

Resposta

As assíntotas verticais são
x = 0 e x = -43

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