(20 pontos) Use coordenadas polares para calcular a integral
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A
sendo R=\left\{(x, y) ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9, y \leq 0\right. e \left.x \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA
sobre a região R definida por
  • 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9,
  • y \leq 0,
  • x \leq 0.
Resumo das informações importantes dadas:
  • A condição 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9 descreve um anel (ou coroa) entre os círculos de raio 1 e raio 3.
  • As condições x \leq 0 e y \leq 0 restringem o anel ao quadrante onde x e y são ambos não-positivos (terceiro quadrante), incluindo as bordas.
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que depende apenas da distância ao origem.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e como passamos para elas.
Lembrete das coordenadas polares: cada ponto é dado por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde \,r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo com o eixo x. O elemento de área transforma como
dA = r\, dr\, d\theta.
Explicação didática do dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr (na radial) e r\,d\theta (na angular), então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
Também note que a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} em coordenadas polares fica simplesmente \,r, porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (aqui usamos r\ge0).

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas polares.
  • Pela condição radial 1 \le x^{2}+y^{2}\le 9 obtemos
1 \le r^{2} \le 9 \quad\Rightarrow\quad 1 \le r \le 3.
  • Para as desigualdades em x e y:
x\le 0 \iff r\cos\theta \le 0 \iff \cos\theta \le 0 \iff \theta\in\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right],
y\le 0 \iff r\sin\theta \le 0 \iff \sin\theta \le 0 \iff \theta\in\left[\pi,2\pi\right].
A interseção dessas duas faixas de \theta é
\theta\in\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right],
que corresponde exatamente ao terceiro quadrante (incluindo as bordas). Assim os limites são r de 1 a 3 e \theta de \pi a \tfrac{3\pi}{2}.

Passo 4

Montar a integral em polares e simplificar a integranda.
Substituindo \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dA=r\,dr\,d\theta obtemos a integral iterada
\iint_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA = \int_{\theta=\pi}^{3\pi/2}\int_{r=1}^{3} r\cdot \bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = \int_{\pi}^{3\pi/2}\int_{1}^{3} r^{2}\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Calcule primeiro a integral em r:
\int_{1}^{3} r^{2}\, dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{1}^{3} = \frac{3^{3}-1^{3}}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}.
Agora integramos em \theta:
\int_{\pi}^{3\pi/2} d\theta = \left.\theta\right|_{\pi}^{3\pi/2} = \frac{3\pi}{2}-\pi = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando os resultados:
\iint_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA = \frac{26}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{26\pi}{6} = \frac{13\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13\pi}{3}

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