(20 pontos) Use coordenadas polares para calcular a integral
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A
sendo R=\left\{(x, y) ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9, y \leq 0\right. e \left.x \leq 0\right\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA
sobre a região R definida por
1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9,
y \leq 0,
x \leq 0.
Resumo das informações importantes dadas:
A condição 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9 descreve um anel (ou coroa) entre os círculos de raio 1 e raio 3.
As condições x \leq 0 e y \leq 0 restringem o anel ao quadrante onde x e y são ambos não-positivos (terceiro quadrante), incluindo as bordas.
A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que depende apenas da distância ao origem.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares e como passamos para elas.
Lembrete das coordenadas polares: cada ponto é dado por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde \,r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo com o eixo x. O elemento de área transforma como
dA = r\, dr\, d\theta.
Explicação didática do dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr (na radial) e r\,d\theta (na angular), então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
Também note que a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} em coordenadas polares fica simplesmente \,r, porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (aqui usamos r\ge0).
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas polares.
Pela condição radial 1 \le x^{2}+y^{2}\le 9 obtemos