( 20 pontos) Use integral dupla para determinar a área delimitada pelo parabolóide
e acima dos gráficos
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do parabolóide
que fica acima (isto é, projetada sobre) a região do plano
limitada pelos gráficos
e
. Informações fornecidas e perguntas claras:
- Superfície dada:
- Curvas que delimitam a projeção no plano
: e - A tarefa: usar integral dupla para determinar a área da porção da superfície que está acima da região do plano limitada por
e . - Dados que precisaremos: derivadas parciais de
, a fórmula da área de superfície de gráfico e a descrição explícita da região sobre a qual integrar.
Passo 2
Entendendo a fórmula que vamos usar (mini-aula).
- Para a superfície que é gráfico de
, a área da porção sobre uma região do plano é dada por
Explicando cada peça:
-
é a derivada parcial de em relação a (pendente no sentido ). -
é a derivada parcial de em relação a (pendente no sentido ). - O integrando
mede localmente quanto a superfície “estica” a área do elemento plano (se então integrando 1 e a área da superfície seria a área da projeção; se inclinações existem, a área aumenta). - Portanto nossa tarefa é: (i) calcular
; (ii) descrever ; (iii) montar a integral dupla e calcular.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e escrever o integrando.
-
-
(porque derivada de é , e é constante em relação a ) -
- Logo o integrando da área vale
Passo 4
Determinar a região
no plano
limitada por
e
.
- Primeiro encontramos as interseções: substituir
em dá
portanto
ou
. Assim as interseções são
e
.
- Agora determinamos quem é a curva à esquerda e à direita entre
e . - Para um
entre e : . -
. Note que para temos (isto resulta de ), então a parábola fica à esquerda e a reta à direita.
- Para um
- Conclusão: a região
é
(ou seja integrar
de
até
, e
de
até
).
Passo 5
Montar a integral dupla para a área usando a descrição de
.
- Usando a fórmula da Passo 3 e a parametrização de
da Passo 4,
- Observação didática: é conveniente integrar primeiro em
porque o integrando é função simples em (da forma com e ), e existe uma primitiva conhecida para essa forma.
Passo 6
Calcular a integral interna
— mini-aula sobre a primitiva.
- Fórmula útil (padrão): para constantes
e ,
- Aplicando com
e (aqui é tratada como constante na integração em ): -
- Assim uma primitiva válida é
-
- Verificação rápida (opcional): derivando
em relação a recupera .
Passo 7
Avaliar a integral interna entre os limites
e
e montar a integral em
.
- Portanto
onde, explicitando
,
- Podemos simplificar um termo porque em
a raiz interna fica mais simples:
então
- Em
a expressão é
Passo 8
Escrever a expressão final da área como uma integral única (forma final explícita).
- Reunindo tudo, a área pede calcular
- Observações úteis para a prova:
- Essa integral é uma forma fechada (obtida por integrar em
e reduzida a uma integral em ). Em muitos exercícios a resposta aceitável é justamente apresentar a integral dupla já reduzida a uma integral simples e a primitiva usada (como fizemos). Para quem quiser um valor numérico, essa integral pode ser avaliada numericamente com calculadora ou software. - Em
ambos os termos internos se anulam (as expressões logaritmos ficam com argumento 1), o que evita problemas de descontinuidade no limite inferior.
- Essa integral é uma forma fechada (obtida por integrar em