Uma esfera dielétrica de raio R possui polarização \mathbf{P}=k \mathbf{r},sendo k um parâmetro constante. Obtenha a expressão do campo elétrico para pontos dentro e fora da esfera.
Resolva novamente considerando, um lugar da esfera de raio R, uma casca dielétrica de raios a e $b(b>a).

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera dielétrica de raio R com polarização uniforme em forma vetorial
\mathbf{P} = k\,\mathbf{r},
onde k é constante e \mathbf{r}=r\,\hat r. Primeiro vamos achar o campo elétrico \mathbf{E} para r<R e para r>R usando as cargas ligadas geradas por \mathbf{P} e a lei de Gauss. Em seguida, substituímos a esfera sólida por uma casca dielétrica com raios interno a e externo b b>a e repetimos o procedimento para as três regiões r<a, a<r<b e r>b.

Passo 2

Para a esfera sólida de raio R calculamos as cargas ligadas:
– A densidade de carga volumétrica ligada é
\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P} = -\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\bigl(r^2\,k\,r\bigr) = -\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(k\,r^3) = -3k.
– A densidade de carga superficial ligada na superfície r=R é
\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat n = \bigl(kR\,\hat r\bigr)\cdot\hat r = kR.

Passo 3

Para r<R, o total de carga ligada contida em um raio r é
Q_{\rm enc}(r) = \int_{0}^{r}\rho_b\,4\pi r'^2\,dr' = -3k\;4\pi\int_{0}^{r}r'^2dr' = -4\pi k\,r^3.
Pela lei de Gauss \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\rm enc}/\varepsilon_0 e simetria esférica,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{-4\pi k\,r^3}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}(r) = -\frac{k}{\varepsilon_0}\,r\,\hat r \quad(r<R).

Passo 4

Para r>R, a carga volumétrica total até R é -4\pi kR^3 e a carga de superfície em r=R é
Q_{\sigma} = \sigma_b\,4\pi R^2 = kR\cdot4\pi R^2 = 4\pi kR^3.
Como Q_{\rm enc}= -4\pi kR^3 + 4\pi kR^3 =0, por Gauss segue
\mathbf{E}(r) = \mathbf{0} \quad(r>R).

Passo 5

Agora a casca dielétrica entre r=a e r=b tem a mesma polarização \mathbf{P}=k\,r\,\hat r apenas nesse intervalo. Calculamos:
\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P} = -3k para a<r<b.
– Na superfície interna r=a, o normal externo ao dielétrico aponta para -\hat r, então
\sigma_{b,a} = \mathbf{P}(a)\cdot(-\hat r) = -k\,a.
– Na superfície externa r=b, o normal externo é +\hat r, logo
\sigma_{b,b} = \mathbf{P}(b)\cdot\hat r = k\,b.

Passo 6

Para r<a não há carga ligada interior, portanto
\mathbf{E}(r) = \mathbf{0} \quad(r<a).

Passo 7

Para a<r<b, a carga ligada interna é a soma da camada em r=a e do volume de a até r:
Q_{\sigma,a} = \sigma_{b,a}\,4\pi a^2 = -4\pi k\,a^3, \quad Q_{\rm vol}(a\to r) = -3k\,4\pi\int_{a}^{r}r'^2dr' = -4\pi k\,(r^3 - a^3).
Logo
Q_{\rm enc}(r) = -4\pi k\,a^3 -4\pi k\,(r^3 - a^3) = -4\pi k\,r^3,
e pela lei de Gauss
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{-4\pi k\,r^3}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}(r) = -\frac{k}{\varepsilon_0}\,r\,\hat r \quad(a<r<b).

Passo 8

Para r>b, a carga volumétrica total de a a b é -4\pi k(b^3 - a^3), somada a -4\pi k\,a^3 (interior) e a +4\pi k\,b^3 na superfície externa, dá zero. Assim
\mathbf{E}(r) = \mathbf{0} \quad(r>b).

Resposta

Para a esfera sólida de raio R\): \[\mathbf{E}(r) = \begin{cases} -\dfrac{k}{\varepsilon_0}\;r\,\hat r, & r<R,\\[6pt] \mathbf{0}, & r>R. \end{cases}
Para a casca dielétrica de raios (a<b]:
\mathbf{E}(r) = \begin{cases} \mathbf{0}, & r<a,\\[4pt] -\dfrac{k}{\varepsilon_0}\;r\,\hat r, & a<r<b,\\[4pt] \mathbf{0}, & r>b. \end{cases}]

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