20- Prove a propriedade 2 da variância para a seguinte amostra \mathrm{A}=\{5,5,5,10,10, 10\}, quando se multiplica todos os elementos por 4 .

Passo 1

O enunciado pede para provar a “propriedade 2” da variância quando se multiplica todos os elementos da amostra \mathrm{A}=\{5,5,5,10,10,10\} por 4. Ou seja, mostrar que a variância da nova amostra (obtida multiplicando cada observação por 4) é 4^2 vezes a variância da amostra original. Informações dadas: a amostra \mathrm{A} tem seis elementos, três iguais a 5 e três iguais a 10. Não é preciso fornecer nada mais.

Passo 2

Definimos claramente as quantidades que vamos usar (e o que cada símbolo significa). Seja uma amostra com n observações x_1,\dots,x_n.
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
é a média amostral, onde \bar{x} é o valor médio das observações. A variância amostral (uso aqui a definição com divisão por n, que é a variância da população formada por essas n observações) é
s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Aqui s^2 representa a variância, (x_i-\bar{x}) é o desvio da i-ésima observação em relação à média, e elevamos ao quadrado para medir dispersão sem cancelar sinais. Observação: a propriedade que vamos provar vale tanto para a definição com divisão por n quanto para a com divisão por n-1; a diferença do denominador não afeta o fator c^2 quando se multiplica por c.

Passo 3

Calculemos a média da amostra original \mathrm{A}. Aqui n=6. Somando as observações:
\sum_{i=1}^6 x_i = 5+5+5+10+10+10 = 15+30 = 45.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{45}{6}=7{,}5.
Expliquei passo a passo: somei os três 5 e os três 10, somei os totais e dividi por 6.

Passo 4

Vamos calcular os desvios e seus quadrados para as observações da amostra original. Para uma observação 5:
5-\bar{x}=5-7{,}5=-2{,}5,\qquad (5-\bar{x})^2=(-2{,}5)^2=6{,}25.
Para uma observação 10:
10-\bar{x}=10-7{,}5=2{,}5,\qquad (10-\bar{x})^2=(2{,}5)^2=6{,}25.
Note que tanto para 5 quanto para 10 o quadrado do desvio dá 6{,}25. Como há três observações iguais a 5 e três iguais a 10, teremos seis termos iguais a 6{,}25 ao somar os quadrados dos desvios.

Passo 5

Calculemos a variância da amostra original usando a fórmula. Com seis termos de 6{,}25:
s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{6}\cdot 6\cdot 6{,}25=6{,}25.
Portanto a variância da amostra \mathrm{A} é \;6{,}25.

Passo 6

Agora multiplico todos os elementos por 4. A nova amostra é \mathrm{B}=\{20,20,20,40,40,40\}. Calculemos a média de \mathrm{B}. Soma das observações:
\sum_{i=1}^6 b_i = 20+20+20+40+40+40 = 60+120 = 180.
Então a média é
\bar{b}=\frac{180}{6}=30.
Observe (e isto vale em geral) que \bar{b}=4\bar{x}, porque multiplicar cada observação por 4 multiplica também a média por 4.

Passo 7

Calculemos os desvios e seus quadrados na nova amostra \mathrm{B}. Para 20:
20-\bar{b}=20-30=-10,\qquad (20-\bar{b})^2=(-10)^2=100.
Para 40:
40-\bar{b}=40-30=10,\qquad (40-\bar{b})^2=10^2=100.
Há três valores 20 e três valores 40, logo teremos seis termos iguais a 100.

Passo 8

Calculemos a variância da nova amostra \mathrm{B}:
s_B^2=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 (b_i-\bar{b})^2=\frac{1}{6}\cdot 6\cdot 100=100.
Numericamete, a variância passou de 6{,}25 para 100.

Passo 9

Verifiquemos a relação entre s_B^2 e s^2: vemos que
100 = 16\cdot 6{,}25,
pois 16\cdot 6{,}25 = (4^2)\cdot 6{,}25 = 100. Portanto s_B^2 = 4^2 s^2. Isto confirma a propriedade pedida para este exemplo concreto.

Passo 10

Façamos também uma prova algébrica geral, porque é útil saber como raciocinar na prova: se b_i = c x_i para algum escalar c (aqui c=4), então a média \bar{b}=c\bar{x} e
s_B^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (b_i-\bar{b})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (c x_i - c\bar{x})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c^2(x_i-\bar{x})^2
= c^2\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\right)=c^2 s^2.
Assim, multiplicar todos os dados por c multiplica a variância por c^2. No nosso caso c=4, logo multiplicou por 16.

Resposta

\mathrm{Var}(\mathrm{A})=6{,}25
\mathrm{Var}(4\cdot\mathrm{A})=100
\mathrm{Var}(4\cdot\mathrm{A})=4^2\cdot\mathrm{Var}(\mathrm{A})=16\cdot\mathrm{Var}(\mathrm{A})

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