20- Prove a propriedade 2 da variância para a seguinte amostra
,
, quando se multiplica todos os elementos por 4 .
Passo 1
O enunciado pede para provar a “propriedade 2” da variância quando se multiplica todos os elementos da amostra
por
. Ou seja, mostrar que a variância da nova amostra (obtida multiplicando cada observação por
) é
vezes a variância da amostra original. Informações dadas: a amostra
tem seis elementos, três iguais a
e três iguais a
. Não é preciso fornecer nada mais.
Passo 2
Definimos claramente as quantidades que vamos usar (e o que cada símbolo significa). Seja uma amostra com
observações
.
é a média amostral, onde
é o valor médio das observações. A variância amostral (uso aqui a definição com divisão por
, que é a variância da população formada por essas
observações) é
Aqui
representa a variância,
é o desvio da
-ésima observação em relação à média, e elevamos ao quadrado para medir dispersão sem cancelar sinais. Observação: a propriedade que vamos provar vale tanto para a definição com divisão por
quanto para a com divisão por
; a diferença do denominador não afeta o fator
quando se multiplica por
.
Passo 3
Calculemos a média da amostra original
. Aqui
. Somando as observações:
Logo a média é
Expliquei passo a passo: somei os três
e os três
, somei os totais e dividi por
.
Passo 4
Vamos calcular os desvios e seus quadrados para as observações da amostra original. Para uma observação
:
Para uma observação
:
Note que tanto para
quanto para
o quadrado do desvio dá
. Como há três observações iguais a
e três iguais a
, teremos seis termos iguais a
ao somar os quadrados dos desvios.
Passo 5
Calculemos a variância da amostra original usando a fórmula. Com seis termos de
:
Portanto a variância da amostra
é
Passo 6
Agora multiplico todos os elementos por
. A nova amostra é
. Calculemos a média de
. Soma das observações:
Então a média é
Observe (e isto vale em geral) que
, porque multiplicar cada observação por
multiplica também a média por
.
Passo 7
Calculemos os desvios e seus quadrados na nova amostra
. Para
:
Para
:
Há três valores
e três valores
, logo teremos seis termos iguais a
.
Passo 8
Calculemos a variância da nova amostra
:
Numericamete, a variância passou de
para
.
Passo 9
Verifiquemos a relação entre
e
: vemos que
pois
. Portanto
. Isto confirma a propriedade pedida para este exemplo concreto.
Passo 10
Façamos também uma prova algébrica geral, porque é útil saber como raciocinar na prova: se
para algum escalar
(aqui
), então a média
e
Assim, multiplicar todos os dados por
multiplica a variância por
. No nosso caso
, logo multiplicou por
.