[20 pts] Calcule o comprimento da curva x=2+3 t^{2}, \quad y=6+2 t^{3}, \quad 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da curva
x=2+3t^{2},\qquad y=6+2t^{3},
no intervalo de parâmetro \,0\le t\le 1, e pede explicitamente: calcular o comprimento da curva para t variando de 0 a 1.
Informações relevantes fornecidas:
x(t)=2+3t^{2},
y(t)=6+2t^{3},
t\in[0,1].

Passo 2

Para encontrar o comprimento de uma curva dada por coordenadas paramétricas usamos a fórmula do comprimento de arco (vou escrever a fórmula e explicar cada parte):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
Explicando os símbolos:
  • L é o comprimento total da curva entre os parâmetros t=a e t=b.
  • a e b são os extremos do intervalo de parâmetro (aqui a=0 e b=1).
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas de x e y em relação a t.
    Intuição rápida: dividimos a curva em pequenos trechos onde cada trecho é quase uma reta; o comprimento aproximado de cada trecho é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}, passando ao limite obtemos a integral acima.

Passo 3

Calculemos as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Derivando termo a termo:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(2+3t^{2})=6t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(6+2t^{3})=6t^{2}.
Aqui usei a regra básica: \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n t^{\,n-1}.

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} =\sqrt{(6t)^{2}+(6t^{2})^{2}}.
Agora simplificamos a expressão dentro da raiz:
(6t)^{2}+(6t^{2})^{2}=36t^{2}+36t^{4}=36t^{2}(1+t^{2}).
Portanto
\sqrt{36t^{2}(1+t^{2})}=6|t|\sqrt{1+t^{2}}.
Como o intervalo é [0,1] e t\ge 0 ali, temos |t|=t. Logo a integranda fica 6t\sqrt{1+t^{2}}.

Passo 5

Escrevemos a integral do comprimento com os limites:
L=\int_{0}^{1}6t\sqrt{1+t^{2}}\,dt.
Para resolver essa integral, usamos a substituição clássica quando aparece t\sqrt{1+t^{2}}: definimos
u=1+t^{2}.
Então diferenciando, obtemos
du=2t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{2}.
Quando t=0 temos u=1. Quando t=1 temos u=2. Agora mudamos a integral para a variável u.

Passo 6

Fazendo a mudança de variável na integral:
L=6\int_{0}^{1}t\sqrt{1+t^{2}}\,dt =6\int_{u=1}^{u=2}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{2} =3\int_{1}^{2}u^{1/2}\,du.
Expliquei: \sqrt{u}=u^{1/2} e o fator \dfrac{1}{2} vem de t\,dt=\dfrac{du}{2}; o 6 multiplicando vira 6\cdot\dfrac{1}{2}=3.

Passo 7

Agora integramos u^{1/2}. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2} (pois ao derivar \dfrac{2}{3}u^{3/2} recuperamos u^{1/2}). Aplicando os limites:
L=3\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2} =2\left(u^{3/2}\right)\Big|_{1}^{2} =2\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Não esqueça que 1^{3/2}=1.

Resposta

4\sqrt{2}-2

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