[20 pts] Calcule o comprimento da curva x=2+3 t^{2}, \quad y=6+2 t^{3}, \quad 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas da curva
x=2+3t^{2},\qquad y=6+2t^{3},
no intervalo de parâmetro \,0\le t\le 1, e pede explicitamente: calcular o comprimento da curva para t variando de 0 a 1.
Informações relevantes fornecidas:
x(t)=2+3t^{2},
y(t)=6+2t^{3},
t\in[0,1].
Passo 2
Para encontrar o comprimento de uma curva dada por coordenadas paramétricas usamos a fórmula do comprimento de arco (vou escrever a fórmula e explicar cada parte):
L é o comprimento total da curva entre os parâmetros t=a e t=b.
a e b são os extremos do intervalo de parâmetro (aqui a=0 e b=1).
\dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas de x e y em relação a t.
Intuição rápida: dividimos a curva em pequenos trechos onde cada trecho é quase uma reta; o comprimento aproximado de cada trecho é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}, passando ao limite obtemos a integral acima.
Passo 3
Calculemos as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Derivando termo a termo:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(2+3t^{2})=6t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(6+2t^{3})=6t^{2}.
Aqui usei a regra básica: \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n t^{\,n-1}.
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Expliquei: \sqrt{u}=u^{1/2} e o fator \dfrac{1}{2} vem de t\,dt=\dfrac{du}{2}; o 6 multiplicando vira 6\cdot\dfrac{1}{2}=3.
Passo 7
Agora integramos u^{1/2}. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2} (pois ao derivar \dfrac{2}{3}u^{3/2} recuperamos u^{1/2}). Aplicando os limites: