Se \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})=7. Determine, se possível, \vec{u} \cdot(\vec{w} \times \vec{v})
Passo 1
O enunciado dá a igualdade \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=7 e pede para determinar o valor de \vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}).
Informações relevantes: \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são vetores quaisquer; foi dada a igualdade numérica \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=7. A pergunta é calcular o produto escalar triplo \vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) usando apenas essa informação.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar o conceito usado aqui. O produto escalar triplo de três vetores é a quantidade \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}). Essa expressão tem duas interpretações úteis:
Geometricamente, \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. “Orientado” significa que o valor pode ser positivo ou negativo dependendo da ordem dos vetores.
Algebricamente, o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c} é anti-comutativo, isto é, trocar \vec{b} por \vec{c} muda o sinal:
\vec{b}\times\vec{c} = -\,\vec{c}\times\vec{b}.
Uma maneira de ver essa anti-comutatividade é escrever o produto vetorial pela forma determinantal:
Se trocarmos as linhas correspondentes a \vec{b} e \vec{c} na determinante, o valor da determinante troca de sinal, por isso \vec{b}\times\vec{c} = -\,\vec{c}\times\vec{b}. Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores base e b_i,c_i são as componentes dos vetores.
Passo 3
Usando a propriedade da anti-comutatividade do produto vetorial, transformamos a expressão pedida:
\vec{w}\times\vec{v} = -\,(\vec{v}\times\vec{w}).
Agora aplicamos o produto escalar com \vec{u} em ambos os lados e usamos linearidade do produto escalar (multiplicar por -1 sai do produto):