Se \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})=7. Determine, se possível,
\vec{v} \cdot(\vec{u} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado dá que \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=7 e pede para determinar \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}).
Informações relevantes: \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são vetores no espaço (não são especificados componentes, só sabemos o valor do produto triplo \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})). A tarefa é expressar \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) em termos desse dado.

Passo 2

Vou explicar o conceito que usamos: o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois, isto é, \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}), chama-se produto triplo escalar. Uma forma útil de pensar nele é como o determinante das componentes dos vetores:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.
Geometricamente este valor é o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Não precisa decorar o determinante inteiro agora, mas é importante saber duas propriedades que vêm daí.]

Passo 3

Propriedade 1 (antissimetria do produto vetorial): para quaisquer vetores \vec{p} e \vec{q} vale
\vec{p}\times\vec{q} = -\,\vec{q}\times\vec{p}.
Exemplo rápido: \vec{e}_1\times\vec{e}_2=\vec{e}_3 e \vec{e}_2\times\vec{e}_1=-\vec{e}_3. Isso é porque trocar as duas entradas do produto vetorial inverte a orientação.

Passo 4

Propriedade 2 (invariância cíclica do produto triplo): para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} temos
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = \vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}).
Isto decorre da representação por determinante: permutar ciclicamente as colunas (ou linhas, dependendo da convenção) é uma permutação de paridade positiva, então o determinante permanece o mesmo. Intuitivamente, mudar a ordem ciclicamente só “rotaciona” a lista de vetores sem inverter a orientação.

Passo 5

Vamos usar essas duas propriedades para transformar \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) em algo que conhecemos. Começamos aplicando a antissimetria do produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{w} = -\,\vec{w}\times\vec{u}.
Portanto
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) = \vec{v}\cdot\bigl(-\,\vec{w}\times\vec{u}\bigr) = -\,\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}).

Passo 6

Agora aplicamos a invariância cíclica do produto triplo ao termo \vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}). Pela propriedade cíclica:
\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}) = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Juntando com o passo anterior:
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) = -\,\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).

Passo 7

Substituímos o valor que o enunciado nos deu: \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=7. Assim
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) = -\,7.

Resposta

-7

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