Se \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})=7. Determine, se possível, \vec{v} \cdot(\vec{u} \times \vec{w})
Passo 1
O enunciado dá que \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=7 e pede para determinar \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}).
Informações relevantes: \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são vetores no espaço (não são especificados componentes, só sabemos o valor do produto triplo \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})). A tarefa é expressar \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) em termos desse dado.
Passo 2
Vou explicar o conceito que usamos: o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois, isto é, \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}), chama-se produto triplo escalar. Uma forma útil de pensar nele é como o determinante das componentes dos vetores:
Geometricamente este valor é o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Não precisa decorar o determinante inteiro agora, mas é importante saber duas propriedades que vêm daí.]
Passo 3
Propriedade 1 (antissimetria do produto vetorial): para quaisquer vetores \vec{p} e \vec{q} vale
\vec{p}\times\vec{q} = -\,\vec{q}\times\vec{p}.
Exemplo rápido: \vec{e}_1\times\vec{e}_2=\vec{e}_3 e \vec{e}_2\times\vec{e}_1=-\vec{e}_3. Isso é porque trocar as duas entradas do produto vetorial inverte a orientação.
Passo 4
Propriedade 2 (invariância cíclica do produto triplo): para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} temos
Isto decorre da representação por determinante: permutar ciclicamente as colunas (ou linhas, dependendo da convenção) é uma permutação de paridade positiva, então o determinante permanece o mesmo. Intuitivamente, mudar a ordem ciclicamente só “rotaciona” a lista de vetores sem inverter a orientação.
Passo 5
Vamos usar essas duas propriedades para transformar \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) em algo que conhecemos. Começamos aplicando a antissimetria do produto vetorial: