[20 pts] Determine o volume do solido gerado pela rotação em torno do eixo x=2 da região delimitada pelas curvas
y=x^{2} \quad \text { e } \quad x=y^{2}
Obs.: Esboce cuidadosamente a região delimitada pelas curvas indicadas. Esboce o eixo x=2 de rotação. Esboce o sólido e um disco ou arruela típicos. Decida quando integrar em relação a x ou y. De na precisamente os limites de integração e integrandos, e nalmente calcule o volume.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x=2 da região planar limitada pelas curvas
y=x^{2}\quad\text{e}\quad x=y^{2}.
Informações relevantes dadas:
\text{curvas: }y=x^{2}\quad\text{e}\quad x=y^{2},
\text{eixo de rotação: }x=2,çã
\text{pedir: volume do sólido gerado pela rotação}.óçã
A região limitada é a parte do plano onde as duas curvas se intersectam; precisamos determinar esses pontos de interseção e escolher um método de integração (integrar em x ou em y, método das cascas ou das arruelas). Não vou resolver ainda aqui — só organizei o que o problema dá e o que pede. Vamos começar a resolução no Passo 2.

Passo 2

Primeiro encontro os pontos de interseção das curvas porque eles definirão os limites de integração. Igualando y=x^{2} e x=y^{2} e substituindo y=x^{2} em x=y^{2} obtenho
x=(x^{2})^{2}=x^{4}.
Então
x^{4}-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^{3}-1)=0.
Logo x=0 ou x^{3}=1\Rightarrow x=1. Substituindo em y=x^{2} obtemos os pontos de interseção (0,0) e (1,1). Portanto a região limitada fica entre \,x=0 e \,x=1 (e correspondente y entre \,0 e \,1).
Agora decido o método de integração. Temos duas opções naturais:
  • Método das arruelas (washers): fatias horizontais (integrar em y) produzem arruelas com raios dependentes de y.
  • Método das cascas cilíndricas (shells): fatias verticais (integrar em x) produzem cascas cilíndricas quando giradas em torno de uma reta vertical.
Vou usar o método das cascas cilíndricas porque a expressão da altura da casca fica simples em função de x (diferença entre as curvas y=\sqrt{x} e y=x^{2}) e o raio também é simples ( 2-x). Vou explicar o método com calma.
Regra das cascas cilíndricas (fórmula): se girarmos uma faixa vertical de largura dx localizada em x ao redor de uma reta vertical, essa faixa gera uma casca de raio r(x) (distância horizontal até o eixo) e altura h(x) (extensão vertical da região). O volume dessa casca aproximada é
dV \approx \text{(circunferência)}\times\text{(altura)}\times\text{(espessura)} = 2\pi r(x)\,h(x)\,dx,ê
e o volume total é
V=\int 2\pi r(x)h(x)\,dx.
Aqui:
  • o raio é a distância horizontal do ponto x até o eixo x=2: r(x)=|2-x|. Como a região tem x entre 0 e 1, temos x\le 1, então r(x)=2-x.
  • a altura é a diferença entre a curva superior e a inferior em termos de y. Reescrevendo x=y^{2} como y=\sqrt{x} (ramo positivo, pois entre 0 e 1 consideramos y\ge0), a curva superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=x^{2}. Assim
h(x)=\sqrt{x}-x^{2}.
Os limites em x são de x=0 até x=1. Portanto o volume é
V=\int_{0}^{1}2\pi(2-x)\big(\sqrt{x}-x^{2}\big)\,dx.

Passo 3

Agora desenvolvo e integro passo a passo, explicando as regras que uso.
Primeiro multiplico os parênteses para simplificar o integrando:
(2-x)\big(\sqrt{x}-x^{2}\big)=2\sqrt{x}-2x^{2}-x\sqrt{x}+x^{3}.
Aqui usei \sqrt{x}=x^{1/2} e x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}. Então escrevo o integrando com potências:
2\sqrt{x}-2x^{2}-x\sqrt{x}+x^{3}=2x^{1/2}-2x^{2}-x^{3/2}+x^{3}.
A integral fica
V=2\pi\int_{0}^{1}\big(2x^{1/2}-x^{3/2}-2x^{2}+x^{3}\big)\,dx.
Regra de integração que vou usar: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Essa regra vale também para expoentes fracionários (como 1/2 ou 3/2). Vou integrar termo a termo.
Calculo as primitivas:
\int 2x^{1/2}\,dx=2\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}=2\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{4}{3}x^{3/2},
\int -x^{3/2}\,dx=-\frac{x^{5/2}}{5/2}=-\frac{2}{5}x^{5/2},
\int -2x^{2}\,dx=-2\cdot\frac{x^{3}}{3}=-\frac{2}{3}x^{3},
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Portanto a primitiva do integrando é
F(x)=\frac{4}{3}x^{3/2}-\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{4}.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre x=0 e x=1,
\int_{0}^{1}\big(2x^{1/2}-x^{3/2}-2x^{2}+x^{3}\big)\,dx =F(1)-F(0).
Como todas as potências em F(0) se anulam, basta avaliar em x=1:
F(1)=\frac{4}{3}-\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}.

Passo 4

Agora somo os termos numéricos cuidadosamente (faço o MMC =60):
\frac{4}{3}-\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} =\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)-\frac{2}{5}+\frac{1}{4} =\frac{2}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{4}.
Convertendo para denominador 60:
\frac{2}{3}=\frac{40}{60},\qquad -\frac{2}{5}=-\frac{24}{60},\qquad \frac{1}{4}=\frac{15}{60}.
Somando:
\frac{40}{60}-\frac{24}{60}+\frac{15}{60}=\frac{31}{60}.
Portanto
\int_{0}^{1}\big(2x^{1/2}-x^{3/2}-2x^{2}+x^{3}\big)\,dx=\frac{31}{60}.
Multiplicando por 2\pi (fator da fórmula das cascas) dá o volume final:
V=2\pi\cdot\frac{31}{60}=\frac{62\pi}{60}=\frac{31\pi}{30}.

Resposta

\frac{31\pi}{30}

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