[20 pts] Determine o volume do solido gerado pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas
Obs.: Esboce cuidadosamente a região delimitada pelas curvas indicadas. Esboce o eixo
de rotação. Esboce o sólido e um disco ou arruela típicos. Decida quando integrar em relação a
ou
. De na precisamente os limites de integração e integrandos, e nalmente calcule o volume.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
da região planar limitada pelas curvas
Informações relevantes dadas:
A região limitada é a parte do plano onde as duas curvas se intersectam; precisamos determinar esses pontos de interseção e escolher um método de integração (integrar em
ou em
, método das cascas ou das arruelas). Não vou resolver ainda aqui — só organizei o que o problema dá e o que pede. Vamos começar a resolução no Passo 2.
Passo 2
Primeiro encontro os pontos de interseção das curvas porque eles definirão os limites de integração. Igualando
e
e substituindo
em
obtenho
Então
Logo
ou
. Substituindo em
obtemos os pontos de interseção
e
. Portanto a região limitada fica entre
e
(e correspondente
entre
e
).
Agora decido o método de integração. Temos duas opções naturais:
- Método das arruelas (washers): fatias horizontais (integrar em
) produzem arruelas com raios dependentes de . - Método das cascas cilíndricas (shells): fatias verticais (integrar em
) produzem cascas cilíndricas quando giradas em torno de uma reta vertical.
Vou usar o método das cascas cilíndricas porque a expressão da altura da casca fica simples em função de
(diferença entre as curvas
e
) e o raio também é simples (
). Vou explicar o método com calma.
Regra das cascas cilíndricas (fórmula): se girarmos uma faixa vertical de largura
localizada em
ao redor de uma reta vertical, essa faixa gera uma casca de raio
(distância horizontal até o eixo) e altura
(extensão vertical da região). O volume dessa casca aproximada é
e o volume total é
Aqui:
- o raio é a distância horizontal do ponto
até o eixo : Como a região tem entre e , temos , então . - a altura é a diferença entre a curva superior e a inferior em termos de
. Reescrevendo como (ramo positivo, pois entre e consideramos ), a curva superior é e a inferior é . Assim
Os limites em
são de
até
. Portanto o volume é
Passo 3
Agora desenvolvo e integro passo a passo, explicando as regras que uso.
Primeiro multiplico os parênteses para simplificar o integrando:
Aqui usei
e
. Então escrevo o integrando com potências:
A integral fica
Regra de integração que vou usar: para qualquer
,
Essa regra vale também para expoentes fracionários (como
ou
). Vou integrar termo a termo.
Calculo as primitivas:
Portanto a primitiva do integrando é
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre
e
,
Como todas as potências em
se anulam, basta avaliar em
:
Passo 4
Agora somo os termos numéricos cuidadosamente (faço o MMC
):
Convertendo para denominador
:
Somando:
Portanto
Multiplicando por
(fator da fórmula das cascas) dá o volume final: