( \mathbf{2} pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}-\tan (x) y=\cos x \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial abaixo. O que é pedido é a função [y(x)) que satisfaça a equação e a condição inicial:
A equação é uma equação diferencial de primeira ordem (contém \frac{dy}{dx}\] e \(y).
A condição inicial é y(0)=1, ou seja, o valor de y quando x=0.
Note que a função \tan(x) tem descontinuidades onde \cos x=0; isso indica que soluções clássicas só fazem sentido em intervalos onde \cos x\neq 0. A condição inicial em x=0 aponta que podemos procurar a solução no intervalo que contém 0, por exemplo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).]
Passo 2
Vamos reescrever a equação numa forma-padrão para uma equação linear de primeira ordem. A forma-padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas. Comparando com a equação dada, vemos que
P(x)=-\tan(x),\qquad Q(x)=\cos x.
Explicação do que significam essas letras: P(x) é o coeficiente que multiplica y quando a equação está na forma padrão; Q(x) é o termo não homogêneo (fonte). Essa identificação é importante porque existe um método padrão (fácil de aplicar na prova) para resolver esse tipo de equação.
Passo 3
Apresento e explico a ideia do método do fator integrante (integrating factor), passo a passo e de forma didática.
Objetivo do fator integrante: encontrar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicarmos a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)'. Isso transforma a equação diferencial em algo do tipo
\bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)' = \mu(x)\,Q(x),
o que é fácil de integrar.
Como escolher \mu(x): suponha \mu(x) diferenciável. Pelo produto, queremos
\bigl(\mu y\bigr)'=\mu\,y'+\mu'\,y.
Comparando com \mu multiplicando a equação padrão \,y'+P(x)y=Q(x)\,, precisamos que \mu'\,y=\mu P(x)\,y para todo y. Isso dá a condição escalar
\mu'(x)=\mu(x)\,P(x).
Essa é uma equação para \mu. Dividindo por \mu e integrando obtemos
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x)\quad\Longrightarrow\quad \ln \mu(x)=\int P(x)\,dx + C.
Escolhendo a constante de integração C=0 (pois o fator integrante pode ser multiplicado por uma constante sem alterar o método), obtemos a fórmula prática
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,dx\right).
Resumo curto: calcule \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, multiplique a equação por \mu, então o lado esquerdo vira (\mu y)' e basta integrar.
Passo 4
Calculo do fator integrante para o nosso problema: como P(x)=-\tan(x), temos
\int P(x)\,dx=\int -\tan(x)\,dx.
Calcule essa integral passo a passo. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, então
\int -\tan x\,dx=\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Faça a substituição u=\cos x, assim du=-\sin x\,dx. Com isso a integral vira
Tomando a constante zero para o fator integrante, obtemos
\mu(x)=\exp\bigl(\ln|\cos x|\bigr)=|\cos x|.
Como costumamos trabalhar no intervalo que contém x=0 (onde \cos x>0), podemos simplesmente tomar
\mu(x)=\cos x.
Comentário breve: o sinal absoluto aparece pela integral do logaritmo, mas no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) temos \cos x>0, então \mu(x)=\cos x é perfeitamente válida.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\cos x. Escrevo isso e verifico que o lado esquerdo se transforma em derivada de produto.