( \mathbf{2} pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}-\tan (x) y=\cos x \\\ y(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial abaixo. O que é pedido é a função [y(x)) que satisfaça a equação e a condição inicial:
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}-\tan(x)\,y=\cos x,\\[6pt] y(0)=1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem (contém \frac{dy}{dx}\] e \(y).
  • A condição inicial é y(0)=1, ou seja, o valor de y quando x=0.
  • Note que a função \tan(x) tem descontinuidades onde \cos x=0; isso indica que soluções clássicas só fazem sentido em intervalos onde \cos x\neq 0. A condição inicial em x=0 aponta que podemos procurar a solução no intervalo que contém 0, por exemplo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).]

Passo 2

Vamos reescrever a equação numa forma-padrão para uma equação linear de primeira ordem. A forma-padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas. Comparando com a equação dada, vemos que
P(x)=-\tan(x),\qquad Q(x)=\cos x.
Explicação do que significam essas letras: P(x) é o coeficiente que multiplica y quando a equação está na forma padrão; Q(x) é o termo não homogêneo (fonte). Essa identificação é importante porque existe um método padrão (fácil de aplicar na prova) para resolver esse tipo de equação.

Passo 3

Apresento e explico a ideia do método do fator integrante (integrating factor), passo a passo e de forma didática.
  • Objetivo do fator integrante: encontrar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicarmos a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)'. Isso transforma a equação diferencial em algo do tipo
\bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)' = \mu(x)\,Q(x),
o que é fácil de integrar.
  • Como escolher \mu(x): suponha \mu(x) diferenciável. Pelo produto, queremos
\bigl(\mu y\bigr)'=\mu\,y'+\mu'\,y.
Comparando com \mu multiplicando a equação padrão \,y'+P(x)y=Q(x)\,, precisamos que \mu'\,y=\mu P(x)\,y para todo y. Isso dá a condição escalar
\mu'(x)=\mu(x)\,P(x).
Essa é uma equação para \mu. Dividindo por \mu e integrando obtemos
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x)\quad\Longrightarrow\quad \ln \mu(x)=\int P(x)\,dx + C.
Escolhendo a constante de integração C=0 (pois o fator integrante pode ser multiplicado por uma constante sem alterar o método), obtemos a fórmula prática
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,dx\right).
Resumo curto: calcule \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, multiplique a equação por \mu, então o lado esquerdo vira (\mu y)' e basta integrar.

Passo 4

Calculo do fator integrante para o nosso problema: como P(x)=-\tan(x), temos
\int P(x)\,dx=\int -\tan(x)\,dx.
Calcule essa integral passo a passo. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, então
\int -\tan x\,dx=\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Faça a substituição u=\cos x, assim du=-\sin x\,dx. Com isso a integral vira
\int -\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+\text{const}=\ln|\cos x|+\text{const}.
Tomando a constante zero para o fator integrante, obtemos
\mu(x)=\exp\bigl(\ln|\cos x|\bigr)=|\cos x|.
Como costumamos trabalhar no intervalo que contém x=0 (onde \cos x>0), podemos simplesmente tomar
\mu(x)=\cos x.
Comentário breve: o sinal absoluto aparece pela integral do logaritmo, mas no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) temos \cos x>0, então \mu(x)=\cos x é perfeitamente válida.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\cos x. Escrevo isso e verifico que o lado esquerdo se transforma em derivada de produto.
Multiplicando:
\cos x\cdot\frac{dy}{dx}-\cos x\cdot\tan x\;y=\cos x\cdot\cos x.
Observe que \cos x\cdot\tan x=\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x. Assim a equação fica
\cos x\;\frac{dy}{dx}-\sin x\;y=\cos^2 x.
Agora verificamos a identidade do produto:
\bigl(\cos x\;y\bigr)'=\cos x\;\frac{dy}{dx}+(\cos x)'\;y=\cos x\;\frac{dy}{dx}-\sin x\;y.
Portanto o lado esquerdo é exatamente \bigl(\cos x\;y\bigr)'. A equação multiplicada pelo fator integrante é
\bigl(\cos x\;y\bigr)'=\cos^2 x.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Integramos passo a passo e explico como integrar \cos^2 x.
Integração direta:
\int \bigl(\cos x\;y\bigr)' \,dx=\int \cos^2 x\,dx.
O lado esquerdo pelo Teorema Fundamental do Cálculo vira \cos x\;y. Para o lado direito usamos a identidade de ângulo duplo
\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Assim
\int \cos^2 x\,dx=\int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx.
Calcule cada integral:
\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2},\qquad \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2}=\frac{\sin(2x)}{4}.
Somando e adicionando a constante de integração C, obtemos:
\cos x\;y=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+C.

Passo 7

Determine a constante C usando a condição inicial y(0)=1. Substitua x=0 e y(0)=1 na expressão obtida:
Calcule o lado esquerdo em x=0:
\cos(0)\,y(0)=1\cdot 1=1.
No lado direito, quando x=0 temos \frac{0}{2}+\frac{\sin(0)}{4}+C=0+0+C=C. Igualando os dois lados segue que
C=1.
Portanto a relação entre y e x que encontramos (ainda escrita com \cos x multiplicando y) é
\cos x\;y=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}+1.

Resposta

y(x)=\frac{x+2}{2\cos x}+\frac{\sin x}{2},\qquad x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)

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