[22 pts] Considere f x)=x \mathrm{e}^{2 x}.
(a) Determine a integral \int f x d x
(b) Determine se a integral \left.\int_{4}^{\infty} f x\right) d x converge ou não. Se convergente, determine o valor da integral.
Obs.: formule/expresse precisamente a integral imprópria em termos de um limite.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x\e^{2x} e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a integral indefinida \displaystyle \int f(x)\,dx.
  2. (b) Determinar se a integral imprópria \displaystyle \int_{4}^{\infty} f(x)\,dx converge; se convergir, calcular o valor. Foi pedido expressar a integral imprópria precisamente em termos de um limite.
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de f(x) e os limites de integração para a parte (b). Nada mais foi dado.

Passo 2

Vamos aprender a ferramenta que vamos usar: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
onde u=u(x) é uma função que escolhemos e dv é outra parte da integranda; então du é a derivada de u multiplicada por dx e v é uma primitiva (integração) de dv.
Explicando devagar:
  • u é uma função que escolhemos convenientemente para simplificar ao derivá-la (por exemplo, polinômios).
  • dv é o resto da integranda que sabemos integrar facilmente.
  • Calculamos du = u'(x)\,dx e v tal que \int dv = v.
  • Substituímos na fórmula e obtemos uma integral (mais simples idealmente) para resolver.
Um exemplo rápido (sem resolver integral do enunciado ainda): se tivéssemos \int x\cos x\,dx, seria natural escolher u=x (porque sua derivada é simples) e dv=\cos x\,dx (pois sabemos integrar \cos x). Aqui a mesma ideia se aplica: produto de polinômio x com exponencial \e^{2x}.

Passo 3

Aplicando integração por partes a \displaystyle \int x\e^{2x}\,dx.
Escolha natural:
u=x,\qquad dv=\e^{2x}\,dx.
Agora computamos du e v:
du = u'(x)\,dx = 1\cdot dx = dx,
v=\int dv=\int \e^{2x}\,dx.
Para integrar \e^{2x} usamos a regra básica \int \e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}\e^{ax}+C. Aqui a=2, então
v=\frac{1}{2}\e^{2x}.

Passo 4

Substituímos na fórmula de integração por partes:
\int x\e^{2x}\,dx = u\,v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int x\e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}\e^{2x} - \int \frac{1}{2}\e^{2x}\,dx.
Agora resolvemos a integral restante \int \frac{1}{2}\e^{2x}\,dx. Fatorando a constante:
\int \frac{1}{2}\e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\int \e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\e^{2x} = \frac{1}{4}\e^{2x}.

Passo 5

Continuando a simplificação, obtemos:
\int x\e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}\e^{2x} - \frac{1}{4}\e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração. Podemos fatorar \e^{2x} para deixar mais elegante:
\int x\e^{2x}\,dx = \frac{\e^{2x}}{4}(2x-1) + C.

Passo 6

Portanto, a resposta da parte (a) é a primitiva F(x) dada por
F(x)=\frac{\e^{2x}}{4}(2x-1)+C.
(Isto significa que F'(x)=x\e^{2x}.)

Passo 7

Agora a parte (b): integrar imprópria \displaystyle \int_{4}^{\infty} x\e^{2x}\,dx. Primeiro escrevemos isto como um limite, como foi solicitado:
\int_{4}^{\infty} x\e^{2x}\,dx \coloneqq \lim_{b\to\infty}\int_{4}^{b} x\e^{2x}\,dx.

Passo 8

Usamos a primitiva F(x) encontrada para avaliar a integral definida de 4 até b:
\int_{4}^{b} x\e^{2x}\,dx = F(b)-F(4) = \frac{\e^{2b}}{4}(2b-1) - \frac{\e^{8}}{4}(2\cdot 4 -1).
Aqui eu calculei F(4)=\frac{\e^{2\cdot 4}}{4}(2\cdot 4-1)=\frac{\e^{8}}{4}(8-1)=\frac{7\e^{8}}{4}. (Usei o valor de F(x) na abscissa x=4.)

Passo 9

Agora tomamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\left[\frac{\e^{2b}}{4}(2b-1) - \frac{7\e^{8}}{4}\right].
A parcela -\frac{7\e^{8}}{4} é constante; a questão é o comportamento de \frac{\e^{2b}}{4}(2b-1) quando b\to\infty.
Observação didática: a função \e^{2b} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em b. Assim, (2b-1)\e^{2b} tende a +\infty quando b\to\infty. Formalmente, por exemplo, podemos ver que \e^{2b}\to\infty e 2b-1\to\infty, logo o produto diverge para +\infty. Portanto o limite é +\infty.

Passo 10

Conclusão: o limite que define a integral imprópria é +\infty, ou seja, a integral não converge (diverge para +\infty). Em termos matemáticos:
\lim_{b\to\infty}\int_{4}^{b} x\e^{2x}\,dx = +\infty,
logo \displaystyle \int_{4}^{\infty} x\e^{2x}\,dx diverge.

Resposta

(a) \displaystyle \int x\e^{2x}\,dx = \frac{\e^{2x}}{4}(2x-1)+C.\n(b) A integral imprópria \displaystyle \int_{4}^{\infty} x\e^{2x}\,dx diverge (vai para +\infty); portanto não converge.

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