[22 pts] Considere
.
(a) Determine a integral
(b) Determine se a integral
converge ou não. Se convergente, determine o valor da integral.
Obs.: formule/expresse precisamente a integral imprópria em termos de um limite.
(a) Determine a integral
(b) Determine se a integral
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar a integral indefinida
. - (b) Determinar se a integral imprópria
converge; se convergir, calcular o valor. Foi pedido expressar a integral imprópria precisamente em termos de um limite.
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de
e os limites de integração para a parte (b). Nada mais foi dado.
Passo 2
Vamos aprender a ferramenta que vamos usar: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
é uma função que escolhemos e
é outra parte da integranda; então
é a derivada de
multiplicada por
e
é uma primitiva (integração) de
.
Explicando devagar:
-
é uma função que escolhemos convenientemente para simplificar ao derivá-la (por exemplo, polinômios). -
é o resto da integranda que sabemos integrar facilmente. - Calculamos
e tal que . - Substituímos na fórmula e obtemos uma integral (mais simples idealmente) para resolver.
Um exemplo rápido (sem resolver integral do enunciado ainda): se tivéssemos
, seria natural escolher
(porque sua derivada é simples) e
(pois sabemos integrar
). Aqui a mesma ideia se aplica: produto de polinômio
com exponencial
.
Passo 3
Aplicando integração por partes a
.
Escolha natural:
Agora computamos
e
:
Para integrar
usamos a regra básica
. Aqui
, então
Passo 4
Substituímos na fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Agora resolvemos a integral restante
. Fatorando a constante:
Passo 5
Continuando a simplificação, obtemos:
onde
é a constante de integração. Podemos fatorar
para deixar mais elegante:
Passo 6
Portanto, a resposta da parte (a) é a primitiva
dada por
(Isto significa que
.)
Passo 7
Agora a parte (b): integrar imprópria
. Primeiro escrevemos isto como um limite, como foi solicitado:
Passo 8
Usamos a primitiva
encontrada para avaliar a integral definida de
até
:
Aqui eu calculei
. (Usei o valor de
na abscissa
.)
Passo 9
Agora tomamos o limite quando
:
A parcela
é constante; a questão é o comportamento de
quando
.
Observação didática: a função
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em
. Assim,
tende a
quando
. Formalmente, por exemplo, podemos ver que
e
, logo o produto diverge para
. Portanto o limite é
.
Passo 10
Conclusão: o limite que define a integral imprópria é
, ou seja, a integral não converge (diverge para
). Em termos matemáticos:
logo
diverge.
Resposta
(a)
\n(b) A integral imprópria
diverge (vai para
); portanto não converge.