(20%) Questão 5. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - Temos uma equação diferencial linear na forma padrão
com e .
A tarefa é encontrar a solução geral.
Passo 2
Método escolhido e por quê: para equações lineares de primeira ordem da forma
o método padrão é usar o fator integrante. Esse método transforma o membro esquerdo numa derivada de produto, permitindo integrar facilmente. Vou aplicar esse método porque é o mais direto aqui e não exige técnicas complicadas.
Explicando o fator integrante: definimos o fator integrante
por
Aqui
, então
Multiplicamos toda a equação por
. Isso tem a vantagem de que o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
, pois
No nosso caso
, então
que é exatamente o lado esquerdo multiplicado por
.
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é
Portanto
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário).
Passo 4
Calcular a integral
. Faço a substituição simples
Com essa substituição a integral vira
Sabemos (ou lembramos) que a derivada da função
é
. Então
Voltando para
(isto é,
):
Substituindo na expressão para
e absorvendo constantes numa só constante
,
Passo 5
Isolar
dividindo por
:
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
, que é
. Se quiser, checar rapidamente que
funciona: calcular
e somar com
leva ao membro direito
, confirmando que está correto.