(20%) Questão 5. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
\frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{1+e^{2 x}};

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{1+e^{2x}}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Temos uma equação diferencial linear na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) com P(x)=1 e Q(x)=\dfrac{1}{1+e^{2x}}.
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Método escolhido e por quê: para equações lineares de primeira ordem da forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) o método padrão é usar o fator integrante. Esse método transforma o membro esquerdo numa derivada de produto, permitindo integrar facilmente. Vou aplicar esse método porque é o mais direto aqui e não exige técnicas complicadas.
Explicando o fator integrante: definimos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x)=1, então
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicamos toda a equação por \mu(x). Isso tem a vantagem de que o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(x)\,y, pois
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y.
No nosso caso \mu'(x)=e^{x}, então
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y = e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = e^{x}\Big(\frac{dy}{dx}+y\Big),
que é exatamente o lado esquerdo multiplicado por e^{x}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por e^{x} obtemos
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big).
Portanto
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y = \int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário).

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx. Faço a substituição simples
u=e^{x}\quad\Rightarrow\quad du=e^{x}\,dx.
Com essa substituição a integral vira
\int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx = \int \frac{du}{1+u^{2}}.
Sabemos (ou lembramos) que a derivada da função \arctan(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}}. Então
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + \text{constante}.
Voltando para x (isto é, u=e^{x}):
\int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx = \arctan\big(e^{x}\big) + \text{constante}.
Substituindo na expressão para e^{x}y e absorvendo constantes numa só constante C,
e^{x}y = \arctan\big(e^{x}\big) + C.

Passo 5

Isolar y dividindo por e^{x}:
y(x) = e^{-x}\,\arctan\big(e^{x}\big) + C\,e^{-x}.
Interpretação: a solução geral é a soma de uma solução particular
y_{p}(x)=e^{-x}\,\arctan\big(e^{x}\big)
e da solução geral da homogênea \dfrac{dy}{dx}+y=0, que é y_{h}(x)=C\,e^{-x}. Se quiser, checar rapidamente que y_{p} funciona: calcular y_{p}' e somar com y_{p} leva ao membro direito \dfrac{1}{1+e^{2x}}, confirmando que está correto.

Resposta

y(x)=e^{-x}\,\arctan\big(e^{x}\big)+C\,e^{-x}

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