(10%) Questão 4. Considere a equação diferencial
(a) Calcule as diferenciais
(b) Resolva a equação (1) reescrevendo-a na forma
e usando as informações obtidas em (a).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Pede duas coisas:
- (a) Calcular as diferenciais
- (b) Reescrever a equação na forma
e resolver usando as diferenciais encontradas em (a).
Informações relevantes dadas: a equação diferencial original acima e a forma alternativa que deve ser usada na parte (b). Nada mais é pedido no Passo 1.
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro lembre que
A diferencial da função
(entendendo-se aqui log natural) é dada por
porque a derivada de
é
e a diferencial aplica essa derivada ao incremento
. Aplicando isso a
obtemos:
Passo 3
Agora calculemos
. Usamos a regra do produto para diferenciais (que é a forma diferencial da regra da derivada do produto):
se e
, então
se
Aplicando com
e
temos:
Passo 4
Mostramos que a equação original pode ser reescrita como pedem. Partimos de
Expandindo ambos os lados:
Colocando todos os termos no mesmo lado:
Agrupando
e
obtemos
ou seja
que é exatamente a forma indicada no enunciado.
Passo 5
Agora vamos usar as diferenciais encontradas em (a) para simplificar cada lado da igualdade. Primeiro observação útil:
multiplicando a expressão de por
temos
multiplicando a expressão de
Portanto podemos escrever
Passo 6
Para o outro termo usamos a expressão de
. Temos
portanto
Passo 7
Substituindo as expressões do Passo 5 e do Passo 6 na forma reescrita da equação (do Passo 4) obtemos
Aqui devemos observar que, para dividir por
, precisamos estar numa região onde
. Se
teremos casos degenerados (por exemplo curvas onde
ou
que mereceriam análise separada). Seguindo a resolução padrão para a solução geral, assumimos
e simplificamos:
Passo 8
Cancelando
dos dois lados (na região onde
) ficamos com
Integrando ambos os lados (integração de diferenciais dá as funções correspondentes mais uma constante):
onde
é constante de integração. Esta é a forma implícita da solução geral.
Passo 9
Podemos manipular a solução para formas alternativas úteis. Exponenciando ambos os lados:
Definindo
(constante arbitrária não nula), uma forma conveniente é
Também podemos escrever a solução implícita de modo mais compacto como