(10%) Questão 4. Considere a equação diferencial
y(1-x y) d x=x(1+x y) d y .
(a) Calcule as diferenciais
d\left(\log \frac{x}{y}\right)=? \quad \text { e } \quad d(x y)=?
(b) Resolva a equação (1) reescrevendo-a na forma
y d x-x d y=x y(y d x+x d y)
e usando as informações obtidas em (a).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y(1-xy)\,dx = x(1+xy)\,dy.
Pede duas coisas:
  • (a) Calcular as diferenciais
d\left(\log\frac{x}{y}\right)=? \quad\text{e}\quad d(xy)=?
  • (b) Reescrever a equação na forma
y\,dx - x\,dy = x y\bigl(y\,dx + x\,dy\bigr)
e resolver usando as diferenciais encontradas em (a).
Informações relevantes dadas: a equação diferencial original acima e a forma alternativa que deve ser usada na parte (b). Nada mais é pedido no Passo 1.

Passo 2

Vamos calcular d\left(\log\frac{x}{y}\right). Primeiro lembre que
\log\frac{x}{y}=\log x - \log y.
A diferencial da função \log (entendendo-se aqui log natural) é dada por
d(\log x)=\frac{dx}{x},
porque a derivada de \log x é 1/x e a diferencial aplica essa derivada ao incremento dx. Aplicando isso a \log x-\log y obtemos:
d\left(\log\frac{x}{y}\right)=d(\log x)-d(\log y)=\frac{dx}{x}-\frac{dy}{y}.

Passo 3

Agora calculemos d(xy). Usamos a regra do produto para diferenciais (que é a forma diferencial da regra da derivada do produto):
se u=x e v=y, então
d(uv)=u\,dv+v\,du.
Aplicando com u=x e v=y temos:
d(xy)=x\,dy + y\,dx.

Passo 4

Mostramos que a equação original pode ser reescrita como pedem. Partimos de
y(1-xy)\,dx = x(1+xy)\,dy.
Expandindo ambos os lados:
y\,dx - x y^2\,dx = x\,dy + x^2 y\,dy.
Colocando todos os termos no mesmo lado:
y\,dx - x\,dy - x y^2\,dx - x^2 y\,dy = 0.
Agrupando y\,dx - x\,dy e x y^2\,dx + x^2 y\,dy obtemos
y\,dx - x\,dy - x y\bigl(y\,dx + x\,dy\bigr) = 0,
ou seja
y\,dx - x\,dy = x y\bigl(y\,dx + x\,dy\bigr),
que é exatamente a forma indicada no enunciado.

Passo 5

Agora vamos usar as diferenciais encontradas em (a) para simplificar cada lado da igualdade. Primeiro observação útil:
multiplicando a expressão de d\left(\log\frac{x}{y}\right) por xy temos
xy\left(\frac{dx}{x}-\frac{dy}{y}\right)=y\,dx - x\,dy.
Portanto podemos escrever
y\,dx - x\,dy = xy\,d\left(\log\frac{x}{y}\right).

Passo 6

Para o outro termo usamos a expressão de d(xy). Temos
d(xy)=y\,dx + x\,dy,
portanto
x y\bigl(y\,dx + x\,dy\bigr)=xy\,d(xy).

Passo 7

Substituindo as expressões do Passo 5 e do Passo 6 na forma reescrita da equação (do Passo 4) obtemos
xy\,d\left(\log\frac{x}{y}\right)=xy\,d(xy).
Aqui devemos observar que, para dividir por xy, precisamos estar numa região onde xy\neq 0. Se xy=0 teremos casos degenerados (por exemplo curvas onde x\equiv 0 ou y\equiv 0 que mereceriam análise separada). Seguindo a resolução padrão para a solução geral, assumimos xy\neq 0 e simplificamos:

Passo 8

Cancelando xy dos dois lados (na região onde xy\neq 0) ficamos com
d\left(\log\frac{x}{y}\right)=d(xy).
Integrando ambos os lados (integração de diferenciais dá as funções correspondentes mais uma constante):
\log\frac{x}{y} = xy + C,
onde C é constante de integração. Esta é a forma implícita da solução geral.

Passo 9

Podemos manipular a solução para formas alternativas úteis. Exponenciando ambos os lados:
\frac{x}{y}=e^{xy+C}=e^{C}e^{xy}.
Definindo C_1=e^{C}>0 (constante arbitrária não nula), uma forma conveniente é
\frac{x}{y}=C_1 e^{xy}.
Também podemos escrever a solução implícita de modo mais compacto como
\log\frac{x}{y}-xy=C.

Resposta

d\left(\log\frac{x}{y}\right)=\dfrac{dx}{x}-\dfrac{dy}{y} \quad e \quad d(xy)=x\,dy+y\,dx
\displaystyle \log\frac{x}{y}=xy+C (ou \displaystyle \frac{x}{y}=C_1 e^{xy}, com C_1=e^{C}).

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