(20%) Questão 5. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A variável independente é
. - A equação relaciona a derivada
, a própria função e o termo conhecido .
Pergunta: encontrar a solução geralque satisfaça essa equação (ou seja, encontrar todas as funções que verifiquem a igualdade para todo ).
Passo 2
Vou usar o método do fator integrante (uma técnica padrão para este tipo de equação). Motivo da escolha: a equação está escrita na forma
com
simples (igual a
), e o fator integrante transforma a equação numa forma facilmente integrável — é direto e rápido na prova. Se preferires, depois eu mostro uma verificação por coeficientes indeterminados.
Passo 3
Colocamos a equação na forma padrão
identificando
Explicação breve: aqui
é a função que multiplica
e
é o termo conhecido (lado direito). Essas identificações servem para calcular o fator integrante.
Passo 4
Definimos o fator integrante
por
Significado: multiplicando a equação original por
fazemos com que o lado esquerdo seja a derivada do produto
(isso vem da regra do produto). Como
,
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato, pela regra do produto,
Portanto a equação fica
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração (que aparece por integrar ambos os lados).
Passo 7
Precisamos calcular a integral
. Usamos integração por partes. Primeiro passo de partes: escolhemos
Então
Aplicando integração por partes,
Passo 8
Calculamos agora
por partes novamente. Escolhemos
logo
e
Substituindo de volta em
,
Colocando fator comum
,
onde
é constante de integração (que será absorvida na constante global).
Passo 9
Voltando à expressão obtida em Passo 6,
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 10
Verificação rápida (opcional, para te deixar mais seguro): se tentarmos um particular polinomial
e substituirmos em
obtemos o sistema
cuja solução é
. Então
e a solução geral é
, coincidente com o que encontramos.