(20%) Questão 5. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
\frac{d y}{d x}+y=x^{2};

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y=x^{2}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A variável independente é x.
  • A equação relaciona a derivada \frac{dy}{dx}, a própria função y e o termo conhecido x^{2}.
    Pergunta: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação (ou seja, encontrar todas as funções y(x) que verifiquem a igualdade para todo x).

Passo 2

Vou usar o método do fator integrante (uma técnica padrão para este tipo de equação). Motivo da escolha: a equação está escrita na forma \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P(x) simples (igual a 1), e o fator integrante transforma a equação numa forma facilmente integrável — é direto e rápido na prova. Se preferires, depois eu mostro uma verificação por coeficientes indeterminados.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
identificando
P(x)=1,\qquad Q(x)=x^{2}.
Explicação breve: aqui P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é o termo conhecido (lado direito). Essas identificações servem para calcular o fator integrante.

Passo 4

Definimos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Significado: multiplicando a equação original por \mu(x) fazemos com que o lado esquerdo seja a derivada do produto \mu(x)y (isso vem da regra do produto). Como P(x)=1,
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y=e^{x}x^{2}.
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{x}y. De fato, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=e^{x}x^{2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)\,dx=\int e^{x}x^{2}\,dx.
Isso dá
e^{x}y=\int e^{x}x^{2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração (que aparece por integrar ambos os lados).

Passo 7

Precisamos calcular a integral \int e^{x}x^{2}\,dx. Usamos integração por partes. Primeiro passo de partes: escolhemos
u=x^{2},\qquad dv=e^{x}\,dx.
Então
du=2x\,dx,\qquad v=e^{x}.
Aplicando integração por partes,
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 8

Calculamos agora \int x e^{x}\,dx por partes novamente. Escolhemos
u=x,\qquad dv=e^{x}\,dx,
logo
du=dx,\qquad v=e^{x},
e
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Substituindo de volta em \int e^{x}x^{2}\,dx,
\int e^{x}x^{2}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x}.
Colocando fator comum e^{x},
\int e^{x}x^{2}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração (que será absorvida na constante global).

Passo 9

Voltando à expressão obtida em Passo 6,
e^{x}y = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) + C.
Dividindo ambos os lados por e^{x} (que nunca é zero), obtemos a solução geral:
y(x)=x^{2}-2x+2 + C e^{-x},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 10

Verificação rápida (opcional, para te deixar mais seguro): se tentarmos um particular polinomial y_{p}=ax^{2}+bx+c e substituirmos em \frac{dy}{dx}+y=x^{2} obtemos o sistema
a=1,\quad 2a+b=0,\quad b+c=0,
cuja solução é a=1,b=-2,c=2. Então y_{p}=x^{2}-2x+2 e a solução geral é y=y_{p}+C e^{-x}, coincidente com o que encontramos.

Resposta

y(x)=x^{2}-2x+2 + C e^{-x}

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